考研数学课件(4)

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第九章 多元函数微分学

内容概要与重点难点提示

本章首先介绍了多元函数的概念（主要是二元函数）的概念、二重极限和连续性，接着介绍了偏导数和全微分的定义和计算公式，讨论了复合函数，隐函数的求导法则（包括二阶偏导数），最后介绍了多元函数微分学在几何上和极值（最值）问题上的应用。

重点 二重极限求法 偏导数定义 单个函数、复合函数、隐函数的求导（包括

二阶偏导数） 空间曲线的切线和法平面以及曲面的切平面和法线 函数的极值（最值） L氏乘数法

难点 对函数在具体点的连续性、可导性和可微性的讨论 含抽象函数的复合函

数以及隐函数的二阶偏导数求解 如何求极值和最值

考试内容要点讲解

一、多元函数的概念、二元函数的极限及连续性 1多元函数的概念

定义9.1 设D为R2的一个非空子集，称映射f: D?R为定义在D上的二元

),函数，记为z?f(x,y),(x,y)?D 或 z?f(PP?，D其中点集D为该函

数的定义域，x,y分别称为第一、第二自变量，z为因变量。 注：（1）一般地，二元函数z?f(x,y)的定义域D为xoy面上的区域； 值域w??zz?f(x,y),(x,y)?D张曲面。

（2）曲面z?f(x,y)与平面z?C的交线在xoy面上的投影曲线f(x,y)?C称为z?f(x,y)的等高线。

（3）一元函数、二元函数及n元函数的联系与区别：一元函数是二元函数的特

殊情形，当一个变量固定，另一个变化时，二元函数便转化为一元函数；一元函数中自变量x代表x轴上的点，只有两个变化方向，而二元函数自变量(x,y)代表平面上的点，有无数个变化方向。由一元函数到二元函数是质的变化，而由二元函数到n元函数只是量的变化。 2、二元函数的极限

定义9.2 设函数f(x,y)在区域D有定义，P0(x0,y0)为D的内点或边界点，若

?为z轴上的区间；z?f(x,y)的图形为空间一

P(x,y)?P0(x0,y0)时，它对应的函数值f(x,y)无限接近一个确定的常数A，

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则称数A为f(x,y)当(x,y)?(x0,y0)时的二重极限，记为

P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?Afx(y?,A)。若用???的语言叙述：???0,???0，当或者lim0?PP0?(x?x0)2?(y?y0)2??(x,y)?(x0,y0)时，有f(x,?y?)?，A则

limf(x,y)?A。

注意：（1）这里的极限过程是动点P(x,y)以任何方式沿着任意路径趋于

P0(x0,y0)。

（2）证明函数在某一点极限存在要用???的语言；求二重极限时，除了罗比达

法则外所有求一元函数极限的方法都适用；证明极限不存在的问题时通常用取路径的方法（千万不能用此法求二重极限）。 （3）

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)存在与否是和f(x,y)在P0(x0,y0)处有无定义无关。

3、二元函数的连续性

)定义9.3 设二元函数f(x,y的定义域为D，P0(x0,y0)为D的内点或边界

点，若

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)，则称函数f(x,y)在点P（若0(x0,y0)处连续。

用增量形式给出定义，则为：设二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)的某个邻域有定义，

P?(x0??x,y0??y)为该邻域的任意

(?x,?y)?(0,0)一点，全增量

?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)满足

lim?z?0，则称函数f(x,y)在点

P0(x0,y0)处连续。若用???的语言给出定义，则为：???0,???0，当

PP0?(x?x0)2?(y?y0)2??时，有f(x,y)?f(x0,y0)??，则称函数f(x,y)在

点P。若f(x,y)在D上每一点都连续，称函数f(x,y)在点D上0(x0,y0)处连续）连续。 相关性质：

1、一切二元初等函数在其定义区域上连续；

2、（局部保号性）若f(x,y)在P0(x0,y0)连续，且f(x0,y0)?0，则???0，当

222(x,y)?U(P时，f(x,y)?0； 0,?)?(x,y)(x?x0)?(y?y0)????3、（最值定理）设二元函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上一定能

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取到最大值和最小值（即存在(x1,y1),(x2,y2)?D，使得?(x,y)?D，有

f(x1,y1)?f(x,y)?f(x2,y2)，其中m?f(x1,y1)和M?f(x2,y2)分别为

f(x,y )在D上的最小值和最大值）；

4（中间值定理）设二元函数f(x,y)在区域D上连续，?(x1,y1),(x2,y2)?D，对于任意介于f(x1,y1),f(x2,y2)两个数值之间的数C，至少?(?,?)?D，f(?,?)?C。

例题1求二重极限：

x?y23（1）

x,ylim)?(?,2)()2x?y，（2）limxy2(x?2y(x,y)?(0,0)x4?y2，

（3）

?3y)(x,ylimx(2x)?(0,0)）

x2，（4?y2(x,ylimxy)?(0,0)32?exy?1

x?2y解;(1)原式=3y3y?3yx?2y(2x?y)(x,y)lim3y?(?,2)x?2y(2x?y)(x,ylim)?(?,2)(1?x?2y)=e=eylim?26y=e12。

233（2）因为x4?y2?2x2y，所以 0?xy2x2y211x4?y2?2x2y=2y2， 又1(x,ylim)?(0,0)2y12=0，故 原式=0。 （3）令x??cos?,y??sin?，则(x,y)?(0,0)???0，所以

原式=lim?cos?(2?cos??3?sin?)??0?=lim??0?cos?(2cos??3sin?) 由于lim??0??0，cos?(2cos??3sin?)?5，

所以原式= 0（有界乘以无穷小仍为无穷小）。

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（4）因为(x,y)?(0,0)时，32?exy?1?31?(1?exy)?11(1?exy)31?xy， 3故原式=

xy??3。

(x,y)?(0,0)1?xy3limx2?y2例题2证明极限lim不存在。

(x,y)?(0,0)x2?y2?(x?y)2证法1：令(x,y)沿着直线y?kx趋于(0,0)，则

x2?(kx)2（1?k2）x21?k2原式=lim=lim=， 222222(x,kx)?(0,0)x2?(kx)2?(x?kx)2x?0（1?k）x?(1?k)x1?k?(1?k)其结果随k不同而不同（如k=0时极限值为不存在。

证法2：令x??cos?,y??sin?，代入

1；k=1时极限值为1），故原式极限21?2原式=lim2=， 2??0???2(cos??sin?)21?(cos??sin?)因其结果随?不同而不同，故原式极限不存在。

二、多元函数偏导数和全微分

)P1、偏导数定义 设函数f(x,y在的某个邻域有定义，让x在x0处有增0(x0,y0)量?x（y固定为y0不变），相应的函数有对x的偏增量

?zxf(x0??x,y0)?f(x0,y0)?lim存

?x?0?x?x?0?x?z在，则称此极限值为f(x,y)在(x0,y0)处对变量x的偏导数，记为(x,y)或

?x00?zx?f(x0??x,y0)?f(x0,y0)，若lim者zx(x0,y0)或者fx(x0,y0)，即

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?z?x(x0,y0)（?zx(x0,y0)?fx(x0,y0)）?lim(1)?zx

?x?0?xf(x??x,0y)? ?lim0?x?0?x(2)(3)f(0x,0y)f(x,y0)?fx(0y,0)。 ?limx?x0x?x0同理 有f(x,y)在(x0,y0)处对变量y的偏导数的定义，若已知f(x,y)在

(x0,y0)处对变量x的偏导数的存在，易知

limx?0f(x0??x,y0)?f(x0??x,y0)?(???)fx(x0,y0)。

x 把定义中的定点(x0,y0)换成任一点(x,y)，便得到偏导函数的定义，如

?zf(x??x,y)?f(x,y)?lim ， ?x?0?x?x类似地可以给出三元函数和n元函数在某点的定义，如三元函数u?f(x,y,z)在

(x0,y0,z0)对变量z的偏导数为

fz(x0,y0,z0)?limf(x0,y0,z0??z)?f(x0,y0,z0)。

?z?z?0偏导数的几何意义 fx(x0,y0)表示曲面z?f(x,y)和平面y?y0的交线

?z?f(x,y)C：?在点P（fy(x0,y0)的几何意义以此0(x0,y0)处的切线对x轴的斜率y?y0?类推）。

求偏导数的方法：（1）定义法 （此法用于可导性未知的点以及分段函数分段点处）； （2）固定变量法 就是对变量x求偏导数时，暂时把变量x以外的变量看成常数，对变量x求导（对其他变量求偏导数以此类推）； （3）代入法 比如求fx(x0,y0)，先将y?y0代入，得到一元函数，再求出z?fy(x,y0)dzdz；则fx(x0,y0)?dxdxx?x0。

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