数学报十年精选题解题方法(8)

386=（12×2-7）×22+12 这说明，总块数等于45是正确的。请读者自己算出图9-3可铺的长度。

从上面的例子中，我们还能体会到：

有时，题目中不直接告诉我们结果，需要通过比较才能得出结果，这样的结果往往表现为两个量的差。所以，我们在审题时，要特别注意把两种相类似的情形进行比较。 【思考题】

1.买2支圆珠笔和5支钢笔共花15.08元；买同样的5支圆珠笔和5支钢笔共花19.70元。每支钢笔多少元？

[提示：两次花钱不一样多的原因是：由于第二次比第一次多买了3（=5-2）支圆珠笔。先算出圆珠笔每支多少元。]

2.牧场上有一片青草，长得一样密、一样快，这牧场上的草可供24头牛吃6周，或者20头牛吃10周。问这牧场上的青草可供18头牛吃几周？ [提示：把原有的青草和新长的青草分开，把两种情况进行比较 第1种情况

原有的+6周新长的=24×6（份） 第2种情况

原有的+10周新长的=20×10（份）。] 10 假 设

在第4讲一开始，我们举了一个“鸡兔同笼”的例子。这里，我们再用它来说明数学上解题方法的灵活多样。

问题是：“鸡和兔共有42只，被关在一个大笼子里，从下面数出鸡兔共108条腿。问鸡、兔各有多少只？”

对于这个问题中所说的“42只鸡兔”，有人作了这样奇特的想象：

假想笼子中的鸡和兔都受过专门训练，它们正在按主人的指令进行非凡的杂技表演。主人一击掌，每只鸡都只用一只脚站着，每只兔子只用后两只脚站立。这时，在笼子底下只能数出的鸡脚和兔脚是原来的一半，即： 108÷2=54（只） 接着主人再一挥手，鸡全部飞去，每只兔子都再抬起一只脚（只剩一脚着地）。与刚才的情况比，每只鸡、兔又都少了一只脚，42只鸡、兔就少了42只脚。这时，从下面数只有脚 54-42=12（只）

这12只脚全是兔子的，而且每只兔脚与一个兔头相对应。因此，笼中的兔子就是12只，鸡有 42-12=30（只）

当然，也可以这样想：假设42只全是鸡，一共有84（=42×2）条腿。与实际情况相比，少了24（=108-84）条腿。为什么会少的？因为假设以后，有若干只兔“变”成了鸡，每有1只兔“变”成鸡，少掉2（=4-2）条腿，一共少了24条腿，说明共有兔子 （108-42×2）÷（4-2）=12（只）

好家伙！几乎不需要列出算式，心算就得出了答案。这完全是想象的功劳！

36

借助于鸡兔作杂技表演这一想象，原来比较复杂的问题转化为一个非常容易算的题目了。

或许有的读者小朋友会说，这种神奇的数学想象简直高不可攀，如果换了我，可实在想象不出。

不是想象不出，而是不习惯或者还不够大胆。不要紧，看了下面的例题和分析，你一定会大有长进。 千万别小看了你自己。

【例1】红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比原计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划。这个厂十一月份计划生产多少台机器？ 【分析与解】假设这个工厂（实际）生产了25天后继续生产到月底，那么全月一共比原计划多生产机器 80×（25+5）=2400（台）

但实际情况是前25天就把原计划要生产机器的任务完成了，这2400台全部是后5天生产的，所以，实际每天生产的台数为： 24O0÷（3O-25）=48O（台）

这样就容易算出原计划要生产机器的台数是： 480×25=12000（台） 或

（480-80）×30=12000（台）

【例2】有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍。现在从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。求黑、白棋子各有多少个？

【分析与解】假设每次取出的黑子不是4个，而是6个（6=3×2），也就是说每次取出的黑子个数也是白子的2倍。由于这堆棋子中黑子个数是白子的2倍，所以，待取到若干次后，黑子、白子应该都取尽。但是实际上当白子取尽时，（留下）黑子还有16个，这是因为实际每次取黑子是4个，和假定每次取黑子6个相比，相差（留下的是）2个。由此可知，一共取的次数是：16÷2=8（次）。白棋子的个数为：3×8=24（个）。黑棋子的个数为24×2=48（个）。

【例3】小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得 56分。小华答对了几题？ 【分析与解】假设小华全部答对：该得4×20=80（分），现在实际只得了56分，相差80-56=24（分），因为答对一题得4分，答错一题扣4分，这样，一对一错相比，一题就差8分（4+4=8），根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出做错的题数：24÷8=3（题），一共做20题，答错3题，答对的应该是：

20-3=17（题） 4×17=68（分）（答对的应得分） 4×3=12（分）（答错的应扣分） 68-12=56（分）（实际得分）

37

从上面几个例子中我们总结出用假设的方法解题的主要步骤：

（1）假设有一种与事实（题中已知的一种实际情况）不符合的情况，但两种情况有共同之处，也有不同之处。比如42只鸡兔的实际情况是： a只鸡 b只兔 共108条腿① 而假设的情况是：

a只鸡 b只鸡 共84条腿② （上面a+b=42） （2）把①与②进行比较，可以分析出：“a只鸡”还是“a只鸡”，但“b只兔”变成了“b只鸡”；还有“108条腿”变成了“84条腿”。这时你会发现事实情形与假设情形之间存在着差异。比如，“少了24条腿”。

（3）找出造成这个差异的原因。原因在于假设情形与事实情形之间差异上。比如，鸡兔问题中，“a只鸡”还是“a只鸡”，不会造成脚数的差异（少24），只可能是“b只兔”变成“b只鸡”造成的差异。

（4）根据两种差异之间的因果关系，列式先求出一个未知量（比如上面的兔的只数b。）

概括地说，用假设法解题的思路就是图10－1：

有了这种巧妙的方法，许多复杂的问题就变得容易了。

【例4】晨光机械厂团支部买来两筐苹果共110千克。现取出甲筐苹果

克？

（千克）。把这种假设的情形与题中已知情形一比较，发现多取出了“27.5-

从而，可算出乙筐原有苹果： 110-50=60（千克）

38

【例5】甲乙两人原来每天共加工零件500个，经过技术革新，甲每天加工的零件数比原来增加30％，乙每天加工的零件数比原来增加20％，因而现在两人每天共加工零件63O个。问甲乙两人原来每天各加工零件多少个？

【分析与解】假设现在甲、乙两人加工的零件数都比原来增加20％，现在两人每天应加工零件： 500×（1+20％）=600（个） 实际上比“假设”的多加工： 630-600=30（个）

这是因为假设中把甲的增产数少算了，少算的百分比是（30％-20％=）10％。 由此，可求出甲原来每天加工零件： [630-500×（1+20％）]÷（30％-20％） =300（个） 【思考题】

1.王师傅原计划在15天内完成1050个零件的生产任务，实际提前1天完成了任务。王师傅实际平均每天比原计划多生产多少个零件？

[提示：模仿例1的“分析与解”，假设王师傅用14（=15-1）天完成了生产任务后继续生产1天，那么比原计划多做零件 1050÷（15-1）=75（个）

再由“75÷15”求出实际每天比原计划多做几个零件。]

2.箱子里有红白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红球，如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球。那么箱子里原有红球比白球多多少只？

[提示：假设每次从箱子里取出7只白球，（7×3）21只红球，经过若干次以后，如果箱子里剩下3只白球，那么就应剩下（3×3+2）11只红球。与实际剩下53只红球相差“53-11”只，这是由于每次多取（21-15=）6只红球产生的。两种取法，取的次数一样，都是（53-11）÷（21-15）=7次。]

3.某校有100名学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男生平均得60分，女生平均得70分，那么，男生比女生多多少名？[提示：假设100名同学都是男生，那么应得分 60×100=6000（分） 比实际少得 63×100-6000=300（分） 原因是男生平均分比女生少 70-60=10（分）

从而求出女生人数为 （63×100-60×100）÷（70-60）=30（名）]

39

11 转 化

前苏联（由今天的俄罗斯、乌克兰等国家组成）著名数学家雅诺科斯妞娅，有一次向参加奥林匹克数学竞赛的同学说：

“什么叫解题？解题就是把题目转化为已经解过的题。”

这句话道出了解数学题常用的也是十分重要的一种方法——转化。这种转化通常是指转化条件或问题，特别是转化题中的数量关系。

【例1】一个两位小数，去掉小数点后比原来的数大53.46。这个两位小数是多少？ 【分析与解】题中“两位小数去掉小数点”是什么意思呢？把它换句话说就是“把这个两位小数扩大100倍，得到一个新数（整数）”。新数比原来的数大多少呢？原数是1倍数，新数是100倍数，新数比原数大 100倍-1倍=99倍

这样，题中“去掉小数点后比原来的数大53.46”这个条件换句话说就是“原数的99倍等于53.46”。

现在，题中的数量关系就明朗了，原来的问题也就转化成一个我们早已会解的、比较简单的新问题了：

“一个数的99倍是53.46，求这个数。” 原来这个数是：

53.46÷（100-1）=0.54

【例2】4本日记本和8本练习本的价钱相等。小明买3本日记本和5本练习本，共用去2.2元。问日记本和练习本的单价各是多少元？

【分析与解】把“4本日记本和8本练习本价钱相等”换句话说，就是“1本日记本和2本练习本价钱相等”；再把它换句话说，就是“3本日记本和6本练习本价钱相等”；把它也换句话说，就是“3本日记本可以换成6本练习本”，与题目中的第2个条件“3本日记本和5本练习本，共用去2.2元”一比较，可知，“买6本练习本和5本练习本，共用去2.2元”。这样，容易先算出每本练习本的价钱是：

2.2÷（6+5）=0.2（元） 从而，日记本的单价是： 0.2×2=0.4（元）

【例3】两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少？

【分析与解】我们知道，在有余数的除法里，商和除数相乘，再加上余数，结果等于被除数。题目中前一句话换个说法就是：被除数比除数的21倍还多3。再换个说法就是：被除数与除数的和比除数的“21+1”倍还多3。题目中第二句话换个说法是：被除数与除数的和是225-（21+3）=201。整个题目的意思换个说法就是：201比除数的22倍多3。从而可以先求出除数是： （201-3）÷22=9

从而，可求出被除数是：

40

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库数学报十年精选题解题方法(8)在线全文阅读。