数学报十年精选题解题方法(2)

【思考题】

1.数一数，图1-10中，共有多少个三角形？

[提示：分“尖向上”、“尖向下”两大类，“尖向上”的三角形与“尖向下”的三角形同样多。“尖向上”的三角形又可分为3类，其中边长为1个单位的有“3+4+3+2”个；边长为2个单位的有“3+2+1”个；边长为3个单位的有1个。]

2.有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形？

[提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：①a、b只能取1～11的自然数；②三角形任意两边之和大于第三边。] 2 化大为小找规律

我们先来看一个大数目的计算问题：计算自然数中小于10000的所有奇数的和。

本题实际上就是计算下式的结果： 1+3+5+…+9995+9997+9999

由于1至10000这10000个自然数中，奇数与偶数各占一半，所以上式中共有5000个加数。

5000个数太多，逐个相加太麻烦。多的不会，想少的，观察下列特殊情况： 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52 ??

从上面这组算式不难发现这样一条规律：从1开始连续n个奇数的和，恰好等于n2。这样，我们只要知道小于10000的奇数共有多少个，就可以直接写出得数了。

我们知道，从1开始的连续偶数个自然数中，奇数、偶数各占一半，所以，小于10000的自然数中，奇数共有5000个。因此 1+3+5+7+……+9995+9997+9999 =50002 =25000000

在解决上面这个问题时，我们体会到：

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对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。

这就是解数学题常用的一种方法，叫做归纳，我们也可以叫做“化大为小找规律”。

【分析与解】 我们可以先来计算 11×99、 111×999、1111×9999，看看它们的积各是多少，它们积里各有多少个数字是偶数。 11×99=1089（有2个数字是偶数。） 111×999=110889（有3个数字是偶数。） 1111×9999=11108889（有4个数字是偶数。）

是偶数。

通过计算，可知

是偶数。

从上面4个算式的结果中，我们可以找到一个规律：几个1乘以相同个数的9，它的乘积，中间有1个0；在0的前面是若干个1，个数比被乘数1的个数少1；在0的后面是若干个8，个数与积中1的个数同样多；积的最末位是9。积里的偶数（包含1个0和若干个8）的个数和被乘数1或乘数9的个数同样多。 根据这一规律，我们可以推想：

这个积里有1个0及19个8，有20个数字是偶数。 【例2】数一数，图 2-1中共有多少个正方形？

【分析与解】 我们把图2-1先放在一边，来看图2-2和图2-3、图2-4中的正方形分别有多少个。

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在图2-2中，边长为1的正方形有4个，边长为2的正方形有1个，一共是： 1+4=5（个）

在图2-3中，边长为1的正方形有9个，边长为2的正方形有4个，边长为3的正方形有1个，一共是： 1+4+9=14（个）

在图2-4中，边长为1、2、3、4的正方形分别有16个、9个、4个、1个，一共是：

1+4+9+16=30（个）

现在，我们发现了规律：当正方形中相邻两个边被分为n等份，以每个等分点为端点，作与它相邻的另一条边的平行线。由这些平行线所组成的正方形（包括原来那个最大的正方形）的总个数是： 12+22+32+……+n2

根据这条规律，可算出图2-1中正方形总个数是： 1+4+9+16+25+36+49+64+81=285（个） 【例3】 计算

【分析与解】 上面的加法算式中共有99个加数，而且这些分数的分母越来越大，通分显然不是好办法。还是用“化大为小”的方法试试吧。

写到这里，规律已经出现了：如果算式中的加数共有n个，那么，计算结果（一个分数）的分子就是n，分母就是n+1。由此，可直接写出本题的答案

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不过，要提醒同学们注意的是：当你找到了规律之后，不要急于马上就去套用，还得先检验一下，看这个规律是不是“灵”。如果不灵，那就要多举几个例子，并对已经总结的结论加以修正。

【例4】 将自然数1，2，3，4，……像图2-5那样按顺序排列起来。在最上面一行中，从左到右第100个数是____；在最左边一列中，从上到下第100个数是____。

【分析与解】 先仔细观察最上面一行靠最左边的几个数，看它们的排列有什么规律。

第1列是a1=1=1 第2列是a2=3=1+2 第3列是a3=6=1+2+3 第4列是a4=10=1+2+3+4 ??

现在可以发现规律了。

第100列是a100=1+2+3+4+5+…+99+100 =（1+100）×100÷2 =5050

5050就是最上面一行中从左到右的第100个数。 再来看最左边一列数从上到下的排列规律。 第2行是b2=2=1+1=a1+1 第3行是b3=4=3+1=a2+1 第4行是b4=7=6+1=a3+1 第5行是b5=11=10+1=a4+1 ??

现在，可以得出最左边一列的各个数与最上面一行数之间有一种对应关系，那就是： bn=an-1+1

知道an-1是多少，也就知道bn是多少。要求最左边一列的第100个数b100，应先算出a99。 a99=a100-100 =5050-100 =4950

所以，b100=a99+1 =4950+1 =4951

【例5】 有甲乙两个水杯，甲杯有水1千克，乙杯是空的。第一次将甲

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样来回倒下去，一直倒了1995次之后，甲杯里的水还剩（ ）千克。

【分析与解】 我们先不考虑倒1995次后甲杯中有多少水，还是先看前几次的情况（列出一个表更容易看出规律）。

续上表

规律出现了：第奇数次倒过之后，甲杯中的水与乙杯相等。1995是个奇数，所以倒了第1995次后，甲杯中的水仍为500克。 再举一个大家很熟悉的例子。

【例6】10条直线最多可把一个长方形分成多少块？

【分析与解】 先不考虑10条直线，而是先看1条、2条、3条直线能把一个长方形分成几块？

如图2-6，一条直线最多可把长方形分成两块。也就是a1=2；

再添一条直线，即2条直线（如图2-7）可把长方形分成几块呢？要注意“最多”二字，它要求这条添上去的直线必须同前一条直线相交，而不能平行。这样，两条直线最多可把长方形分成 2+2=4（块）

也就是a2=4=2+2。

在图2-7再添一条直线，这条直线既不能经过已有的两条直线的交点，也不能与其中一条平行（如图2-8），它使图2-7中的3块再一分为二（增加了3块）。这样，三条直线最多可把长方形分成 4+3=7（块）

也就是：a3=7=4+3

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