数学报十年精选题解题方法(3)

现在，我们发现这样的规律： an=an-1+n

因此，a10=a9+10 =a8+9+10 =a7+8+9+10 =………

=a1+（2+3+4+5+6+7+8+9+10） =2+54 =56（块）

这就是说，10条直线可把长方形分为56块。

【思考题】

1.求13+23+33+43+……+103的值。 [提示：写出下列各式 13+23=1+8=9=（1+2）2

13+23+33=9+27=36=（1+2+3）2

13+23+33+43=36+64=100=（1+2+3+4）2 ????

从这组等式中发现：

13+23+33+……+n3=（1+2+3+……+n）2。]

2.有一个1000位的数，它的各位数字都是2，这个数除以6的余数是几？ [提示：从最简单的情况算起： （1位数）2÷6=0……2 （2位数）22÷6=3……4 （3位数）222÷6=37

（4位数）2222÷6=370……2 （5位数）22222÷6=3703……4 （6位数）222222÷6=37037 算到这里，规律已经很明显了 当位数是3的倍数时，余数为0；

当位数是3的倍数多1时，余数为2； 当位数是3的倍数多2时，余数为4。 3.求图2-9中所有数的和 1 2 3 4 ……100 2 3 4 5 ……101 3 4 5 6 ……102 4 5 6 7 ……103

????????? 100 101 102 103 ……199

[提示：先算图 2-10、图 2-11中所有数的和。

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从图2-10中，可算出所有各数的和是： 4×4×4=43=64

从图2-11中，可算出所有各数的和是： 5×5×5=53=125]

3 从一点突破

你见过建筑工人在墙上开洞装上窗户吗？一面用砖砌成的墙，本来是挺结实的，要在上面开洞并不太容易。通常的做法是先敲开一块砖，这块砖被敲开后，它的上、下、左、右4块砖就容易敲了，然后逐渐向外扩张，一个窗户的地方就留出来了。先敲开一块砖，也就是先找一个突破口。解一些数学题，常常需要从一点突破。

【例1】 如图3-1，a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字。问它们分别代表什么数字？

【分析与解】 图中的字母a代表一个被除数，它和g都可写成另两个数的乘积，因而这两个字母的取值范围比其它字母要小一些。我们选择字母a（或g）作为推理的突破口比较好。

（1）由于8个字母代表的数字互不相同，所以，a只能取6或8（如果取4，要么d=e，要么a=e）。这样，a÷d=e这个除式只可能是： 8÷4=2 或 8÷2=4 或6÷2=3或 6÷3=2 （2）如果a÷d=e代表8÷2=4 或 6÷2=3，那么f无值可取。这就是说，除式a÷d=e只可能是 8÷4=2 或 6÷3=2 （3）如果取8÷4=2，f可取3，g=6，c、h只能分别取1和5。但是，如果c=5，b只能取3（与f重复），不行。只有c=1，h=5，b=7 如果取6÷3=2，f取4，g取8，用同样道理可推出：b=5，c=1，h=7 【例2】下面的算式中，不同字母代表不同的数字，解出这个算式谜。

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【分析与解】解算式谜，我们一般把最容易下手的地方作为推理的突破口。这里最容易下手的地方是“先确定A”。 第一步A=E-E=0。

第二步因为A=0，从第一次减法百位上看，B=10-B或9-B（被十位上借出了1）。所以，B=5。

第三步因为B=5，所以C=4。

=8，I=9。

第六步剩下的没有用过的数字只有l、2、3、6、7。F=1时，F×9的个位为9，9已经出现过，不合要求，所以F不是1。2×9=18，3×8=24，6×9=54，8、4都已出现过，所以F不能为2、3、6，从而F=7。7×9=63，所以G=3。H=C-G=4-3=1。又因为7×8=56，所以E=6。

在上述过程中，我们可逐步将字母换成已经求出的数字，最后得到

【例3】把100个桔子分别装在6只篮子里，每只篮子里所装的桔子数，都要是含有数字“6”的数。该如何装？

【分析与解】这个分装桔子的问题，实际上就是把100分拆成6个数相加，使6个加数必须都含有数字“6”。

由于100的个位数字是0，所以这6个加数的个位数字不能都是6（不然的话，它们和的个位数字是6）。看来，从个位数字上下手比较容易突破。由于每个加数都要含有数字“6”，“6”不在个位上，必定在十位上，但是这6个数的十位数字之和不能超过10，所以它们的十位数字最多有1个为6，这样，就可以推出，有5个数个位数字是6，1个数十位数字是6。因为5个个位数字是6的数相加，和的个位是0，所以十位是“6”的数就是60，而60+6+6+6+6+6=90，比100还少10。所以，这6个数只能是60，16，6，6，6，6。

【例4】油库里有6桶油，分别是汽油、柴油和机油，用秤称得每桶油重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克。但不知道每只桶里各装的是哪种油。已知柴油的总重量是机油的2倍，汽油只有一桶。问6个桶内各装的是什么油？

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【分析与解】①因为柴油总重量是机油的2倍，所以柴油与机油的重量和一定是3的倍数。而6桶油（把汽油也包括进去）的总重量是15+16+18+19+20+31=119（千克），119=39×3+2。这就容易推出汽油的重量被3除余2。从“重量被3除余2”这一点，可以先作突破，找出哪一桶是汽油。在15，16，18，19，20，31中，除以3余2的只有20。所以，汽油的重量是20千克。 ②剩下的5桶油一共重:

15+16+18+19+31=99（千克） 其中机油的重量为： 99÷3=33（千克） 柴油的重量为： 33×2=66（千克）

在剩下的五个数15、16、18、19、31中，只有15+18=33，所以重15千克、18千克这两桶内装的是机油；最后剩下的三桶油是柴油。

【例5】A、B、C、D是从小到大排列的四个不同的自然数，把它们两两求和，分别得出下面的五个不同的和数：21，23，24，25，27。求原来四个数的平均数。

【分析与解】四个数两两相加，应该得到六个和数，而现在只出现五个不同的和数，说明这六个和数当中有两个相等，如果能找出这个相等的和数，找到了这个相等的和数，也就找到了解决问题的突破口。

因为A、B、C、D这四个数是按从小到大排列的，所以由“B＜C”可以推知A+B＜A+C。从而，可进一步推知 A+B＜A+C＜B+C A+D＜B+D＜C+D

它们当中有两个和数相等，那只能是B+C和A+D了，由此推出六个和数应该是21，23，24，24，25，27。

在把A、B、C、D这四个数两两相加，得出六个和数的过程中，A、B、C、D各用了3次，所以A、B、C、D的平均数应为（21+23+24+24+25+27）÷3÷4=12 【例6】如图3-2，把1～7七个数字分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。

【分析与解】我们从图中可以看出：中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”。因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来。这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等。那么，怎样确定中间圆圈内所填的数呢？我们可以这样考虑：1～7七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写。所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：可为1、4、7。这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出。

例如：当中间圆圈填1时，每条直线上两个数的和为9[（28-1）÷3=9]，这时，三组数分别为2和7、3和6、4和5。我们很快可以得到一种填法（见图3-3）。

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同样，当中间圆圈内填4或7时，分别可以得到1和7、2和6、3和5以及1和6、2和5、3和4两种填法。

上面我们讨论的这个例子中，从“重复用数”入手，因此分析起来还不太难。如果“重复用数”多一些的话，思考问题的过程又将怎样呢？请试一试思考题第2题。

【思考题】

1.把下面各题中的“☆”换成适当的数字。

[提示：左边的算式中，乘数的个位、十位与被乘数相乘，积都是两位数，可见，乘数的个位、十位数字都是1，可以把确定乘数作为突破口；右边的算式中，由商的十位数字与除数的积个位是5，把确定商的十位数字作为突破口。]

2.把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填在图3-4的圆圈内，要求三边四个数相加的和相等，并且①三边四个数相加的和要最小；②三边四个数相加的和要最大。怎样确定这两种情况下的三个重复用数？

[提示：三个顶点上的数都是“重复用数”，设它们分别为a、b、c，每条边上4个数的和均为k，那么

1+2+3+……+9+a+b+c=3k

当a+b+c=6时，k最大；当a+b+c=7+8+9=24时，k最小。]

4 试 验

“鸡和兔共42只，被关在一个大笼子里，从下面数出鸡、兔共有108条腿。问鸡、兔各有多少只？”

这道题你现在也许能用好几种方法列式解答。你知道一些数学家怎么想吗？

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