数学报十年精选题解题方法(4)

他们这样做： 先在已知条件“42只鸡和兔”范围内，估计一个数，比如有10只兔、32只鸡，那么共有腿4×10+2×32=104（条）。104靠近108，但比108小，说明兔子不止10只。因此，我们进一步估计有11只兔、31只鸡，那么共有腿4×11+2×31=106（条）。这时尽管没有到达成功的彼岸，但答案已是俯首可拾了，因为每增加一只兔和减少一只鸡（用兔来换鸡），就等于增加了两条腿，所以兔子有12只，鸡有30只。

为什么数学家们一开始不先猜有1只兔、41只鸡呢？因为那样猜的话，就离已知条件“鸡兔的腿共108条”太远了，试验就太费时间了。可见，数学家们在用试验的方法解题时是这样想的：在符合部分已知条件的范围内，为了减少试验的次数，应尽量跨大试验的第一步，使第一个猜测尽量靠近题意。然后把猜得的答案进行试验，看是否符合题意。如果符合题意，问题得解；如果不符合题意，就排除这种猜测（一种可能性），接着再试，直到得出正确答案为止。

华罗庚爷爷十分欣赏这种试验的方法，他曾经赞不绝口地说：“这方法虽然拙笨些，但这是一个步步能行的方法。”“不要以为方法笨不可取，有了方法之后，方法是死的，人是活的。运用之妙，存乎其人。” 下面，我们来举例说明试验法在解题中的作用。

【例1】在下面15个8之间添上适当的运算符号（必要时，可使用括号），使得数为1995。

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1995

【分析与解】我们可以先试一试，但应尽量跨大试验的第一步，使其中的几个“8”所组成的算式计算结果比较靠近1995，然后用剩下的几个“8”来调整。 容易看出，8888÷8=1111 1111+888=1999

好，现在已经得到1999了，它与1995还相差4。这时，我们一共用去了8个“8”，还剩下7个“8”。下面的任务就是用7个“8”组成一个算式，使它的结果是4。

这是比较容易办到的： 8×8÷8=8

8与4相差4，用剩下的4个“8”，组成得数是4的式子。 8×8÷（8+8）=4

到这里，试验就算成功了，组成的算式是： 8888÷8+888-8×8÷8+8×8÷（8+8）=1995

有没有别的方法组成得数是1995的算式呢？你可以再试试。

用试验法求得正确答案，首先要确定有几种可能，这就是试验的范围。范围越小，试验的次数越少，越容易试验成功。所以，应当把缩小试验范围看作我们解题的第一步。

【例2】有一个四位数3AA1，能被9整除。问A代表几？

【分析与解】一个数能被9整除的特征是：这个数的各位数字的和能被9整除。根据这个特征，我们可以知道：3AA1的四个数位上数字的和： 3+A+A+1=2A+4

2A+4能被9整除，它可能是9，18，27，……

但是，A≤9，所以2A≤18，2A+4≤22。这样，试验的范围比较小了（两种可能）：

2A+4=9

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或 2A+4=18

由于2A+4又一定是偶数，所以只能是： 2A+4=18 2A=14 A=7

【例3】一个三位数，百位数字是个位数字的3倍，十位数字等于百位数字与个位数字的积。求这个三位数。

【分析与解】我们先根据第一个条件，可以把试验的范围缩小在三种情况： （1）个位数字1，百位数字3； （2）个位数字2，百位数字6； （3）个位数字3，百位数字9

再根据第二个条件“十位数字等于百位数字和个位数字的积”决定上面三种情况中应该选择哪一种。

第（1）种情况，可以求得十位数字是1×3=3，而第（2）（3）两种情况都不可能求得十位数字（因为2×6、3×9都大于9，不能做十位数字），所以要求的三位数是331。

下面几个例子比较复杂些。

【例4】将一根长为374厘米的铝合金管截成若干根长36厘米和24厘米的短管。问剩余部分的管子最少是多少厘米？

【分析与解】从题目的问句看，应抓住“最少”二字来思考，先考虑没有剩余，再考虑剩余1厘米、2厘米……

（1）如果把这根长管截成若干根两种不同规格的短管后没有剩余，那么374应该是4的倍数，因为两种短管的长度36厘米、24厘米都是4的倍数，但374不能被4整除，所以没有剩余不可能。

（2）如果截成若干根两种不同规格的短管后只剩下1厘米，根据36、24都是偶数，“偶数的倍数是偶数”、“偶数与偶数的和是偶数”可推知，原来铝合金管长应为奇数，这与管长374（偶数）的条件矛盾，所以，剩1厘米也不可能。 （3）如果最后剩下2厘米。这种情况有可能。374÷（36+24）=6……14。这说明两种都截6根余14厘米，这时需要调整：少截一根24厘米长的，加上14，24+14=36+2，正好合一根36厘米长的，还剩2厘米。

【例5】老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3，…，

【分析与解】根据题意可知：

在上式中，被除数、除数都是整数，而商是一个分母为15的分数，这说明：剩下的数的个数是15或15的倍数。 我们可以根据这个猜测来试验。

如果剩下的数的个数是15，剩下的数的总和应是15×16+4=244，那么，擦掉一个数之前，从1开始的自然数有“15+1=16”个，它们的总和是1+2+3+…+16=136，136＜244，也就是1至16这16个连续自然数之和小于1至16这16个连续自然数中的任意15个自然数之和。矛盾！所以，剩下的数不可能是15个。

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那么，擦掉一个数以前从1开始的连续自然数有30+1=31（个），总和是1+2+3+…+31=496，496＞488符合题意。 由496-488=8可知，8就是被擦掉的数。

得到了符合题意的答案，15的其它倍数就不必再试了。

【例6】某校排演团体操时，全体学生恰好能由一个正三角形队列变换为一个正方形队列。现只知道全校学生数在1000～2000人之间，那么这个学校有多少名学生？

【分析与解】先考虑“能组成正方形队列”这个条件，由这个条件可以知道学生总数是某个自然数的平方。因为正方形队列中每行、每列人数相等。在1000～2000之间共有322、332、342、352、362、372、382、392、402、412、422、432、442这13个数符合条件。这样，我们在1000～2000之间排除了许多数，大大缩小了答案的范围。在这13个数中，再根据“能排成正三角形队列”这个条件逐一试验，并不是一件困难的事。

如图4-1，等边三角形队列中，相邻两行之间的人数成等差数列。那么，这个队列中的总人数为（设总行数为n）：

由于2S=n×（n+1），而n×（n+1）表示两个连续自然数的乘积。所以，我们只要把上面筛选出来的13个数逐一试验，看哪个数的2倍能够分解为两个连续自然数的乘积。

试验的结果是，只有1225（352）可以，其它12个数都不行。 因此，题目的答案是：这个学校共有学生1225人。

下面这个例题中，由于计数对象较多，需要试验的次数也比较多，但不难。希望你既要细心，又要耐心。

【例7】有一种用六位数表示日期的方法，如890817，表示的是1989年8月17日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有____天。

【分析与解】这道题仍然用试验法，首先缩小试验的范围。 1月份，形如“9101□□”，全部排除； 9月份，形如“9109□□”，全部排除； 10月份，形如“9110□□”，全部排除； 11月份，形如“9111□□”，全部排除； 12月份，形如“9112□□”，全部排除。 还有2月份，

上旬形如“91020□”，全部排除； 中旬形如“91021□”，全部排除； 下旬形如“91022□”，全部排除。

这样，1月、2月、9月、10月、11月、12月全部排除，试验的范围大大缩小了，只有在剩下的3月～8月这6个月中试。但这6个月按上旬、中旬、下旬不同，试验范围还可进一步缩小。因为表示中旬的日期排除了；表示月份的0□

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中的“0”又把每个月中表示上旬的日期排除了。这样，只需考虑三到八月份中下旬的日期就行了。

三月份：9103□□，符合要求的有24、25、26、27、28。 四月份：9104□□，符合要求的有23、25、26、27、28。 五月份：9105□□，符合要求的有23、24、26、27、28。

类似地，在六、七、八三个月中，合要求的日期也各有5天。 所以全年中六个数字都不相同的日期共5×6=30（天）。 【例8】学校早晨6∶00开校门，晚上6∶40关校门。下午有一同学

【分析与解】题目中所说的“现在”是下午的某一时刻，因此我们可以采用试验的办法来解。

如果当时是下午3点，那么，从开门到“现在”的时间一共是 （12+3）-6=9（小时）

时。根据题目中的等量关系（老师说的话），容易知道“现在”是下午3时还嫌早了一些。因为

所以，我们可以判断：“现在”一定在下午3点钟以后，并且比3点大约迟1小时。

根据上面的估计，我们可以大胆地跨出试验的第一步： 如果当时是下午4点，那么12+4-6=10（小时）

试验一步成功，说明“现在”的时间是下午4点。 【思考题】 1.解下面的算式谜：

[提示：根据“4□÷1□”商3，推知除数只有14、15、16这三种可能，然后逐个

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试验。注意：“9□÷1□”必须余4。]

2.已知在每个正方体的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6这六个数，并且任意两个相对的面上所写两个数的和都等于7。现在把五个这样的正方体一个挨着一个地连接起来（如图4-2），在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8。那么图中打“？”的这个面上所写的数是几。

[提示：根据“相对的面上所写的数字之和都等于7”和“紧挨着的两个面上所写数字之和都是8”，可推知，左上角的正方体前面所写的数字是3

（由，后面是4；左、右两面分别是2或5。然后

用2和5分别试。]

3.三个连续偶数的乘积等于14□□□□8，求这三个偶数。 [提示：三个连续偶数的积是七位数，由1003（100×100×100的积）是七位数，可估计这三个数是三位数的可能性较大。又因为这是三个连续偶数，它们的个位数必定是数列“0，2，4，6，8，0，2……”中连在一起的三个数，已知三个连续偶数的积的个位数字是8，所以这三个数的个位数字必定是2，4，6。又因为三个连续偶数的积的最高位数字是1，所以三个三位数的百位数字只可能是1。 由1103=1331000，1203=1728000，推得三个数的十位数字都是1。] 5 移多补少

同学们都知道，解答“求平均数应用题”离不开“总数量÷总份数=平均数”这个数量关系式。不过，如果你能紧扣“平均”二字的意义来思考，那么，解那些灵活性强的题目，往往能想出更简便的方法。

在“平均”二字中，“平”就是“拉平”，也就是移多补少，“均”就是相等。“平均”二字的意思，通俗地说，就是用“移多补少”的办法，使每份数量都相等。因此，移多补少是我们解答求平均数应用题的重要思考方法。

【例1】新光机器厂装配拖拉机，第一天装配50台，第二天比第一天多装配5台，第三、第四两天装配台数是第一天的2倍多3台，平均每天装配多少台？ 【分析与解】按惯例，应该用四天装配的总台数除以4，综合算式为： [50+（50+5）+（50×2+3）]÷4=52（台）

如果采用移多补少的方法，将会十分简便。假设每天都装配50台，那么四天一共多装配5+3=8（台），把这8台平均分成四份，8÷4=2（台），因此，平均每天装配50+2=52（台），综合算式为：50+（5+3）÷4=52（台），你看，这种解法多么巧妙！

【例2】小红跳绳3次，平均每次跳156下，要想跳4次后达到“平均每次跳160下”，她第4次要跳多少下？

【分析与解】前3次的平均数为156，要想4次的平均数达到160，就是说第4次跳绳要超过160下，并且使超过的部分平均分成3份后恰好把前3次拉平（都是160下）。第4次应跳：

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