数学报十年精选题解题方法(5)

160+（160-156）×3=172（下）。

【例3】从11到20十个连续自然数相加的和，再加上2000，等于从（ ）到（ ）这十个连续自然数相加的和。

【分析与解】我们容易算出：11+12+13+……+20=155，155+2000=2155。 要想知道2155是从（ ）到（ ）的十个连续自然数的和，只要知道其中最小的数或最大的数是多少就行了。我们可以用“削平”或“补齐”（也就是“移多补少”）的技巧来解。设这十个连续自然数中最小的为a1，它后面的9个连续自然数依次为a2，a3，a4，??a8，a9，a10。这9个数比a1分别大1，2，3，……8，9。如果把这些9个数的和减去，那么原来的十个数都和a1相等了，这就是“削平”，如图5-1：

由于a1+a2+a3+……+a10=2155，可知“削平”以后，有 10×a1=2155-（1+2+3+4+……+9） 即10a1=2110 a1=211 从而可求出： a10=a1+9 =211+9 =220

“移多补少”一般用于解“平均数应用题”，它的优点是简单灵活，便于心算。

【例4】某工厂一周内生产机器的台数统计表如图5-2，请你把星期三、星期四的产量算出来。

【分析与解】由“平均每天生产79台”可知，把六天中日产量超于79台的“移出”一部分（多出的一部分），“补到”日产量不足79台的几天后，每天都是79台。可以这样移：

星期一的89台中移出10台，使星期一为79台（多10台）；

星期六的85台中移出6台，其中5台给星期二，使星期二、星期六都是79台（还多1台）；

星期五的81台中移出2台，使星期五也是79台。 现在，星期一、二、五、六都是79台，多出的是： 10+1+2=13（台）

补给星期三和星期四。

可以肯定星期四原有78台，如果是68或比68少，那么，一共多的13台不够；如果是88台或更多，那么，平均日产量就超过79台。这样，星期四需要补1台。星期三需要补 13-1=12（台）

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星期三原有 79-12=67（台）

【例5】有6个木工和一个漆工完成了一套家具生产任务。每个木工各得200元，漆工的工资比7个工人的平均工资多30元。漆工得了多少元钱？

【分析与解】根据“移多补少”的原则，漆工比平均工资高出的30元，分别补给6个木工以后，6个木工的平均工资恰好应该是7个人的平均工资： 30÷6=5（元）

从而，7个人的平均工资应是： 200+5=205（元） 漆工的工资是： 205+30=235（元） 【思考题】

1.在迎新年的寿星联欢会上，有16位老寿星围坐在一起，他们的年龄恰好是16个连续自然数，而且30年后他们的年龄之和又恰好是1992。其中最老的寿星是多少岁？

[提示：模仿例3的思路。]

2.在三场击球游戏中，阿丽丝的分数分别是139、143、144，为了使四场得分的平均分数为145，第四场阿丽丝应得多少分？[提示：由前三场的得分都比平均分低，需补足145，想“应补的分数+平均分=第四场得分”这个关系。]

3.甲、乙、丙三人一起买了8个面包，平均分着吃，甲拿出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出4角钱，问甲应收回多少钱？（以分为单位）

[提示：由“丙应该拿4角钱”可知，8个面包共值40×3=120（分），每个面包值120÷8=15（分），每人应拿出15×3=45（分）；又由一共买了8个面包（不够9个）“三个人平均分吃”可知，每人所吃的面包不到3个。这样丙拿出的4角钱中既有甲的，又有丙的。] 6 等量代换

小朋友们一定都知道曹冲（曹操的小儿子）称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。

为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时，才会淹没得一样深。

“曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。

解数学题，经常会用到这种思考方法。

【例1】百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？

【分析与解】我们根据“2个纸箱同一个木箱装的球鞋一样多”，把木箱换成

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纸箱，也就是说，把300双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱，再加上原来已装好的6个纸箱，一共是10个纸箱。这样，题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里，平均每个纸箱装多少双球鞋？”可以求出每个纸箱装多少双球鞋。也就能求出一个木箱装多少双球鞋。 300÷（2×2+6） =300÷10 =30（双） 30×2=60（双）

答：每个纸箱里装30双球鞋，每个木箱里装60双球鞋。

想一想：如果把纸箱换成木箱，假如300双球鞋全部用木箱装，应该怎样解答？

【例2】如图6-1：阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。

【分析与解】因为中间是正方形，正方形的四边相等，所以DF=FE=BE=BD①长方形ABDC的周长为7×2=14（厘米），长方形EHGF的周长为5×2=10（厘米），又因为最大的长方形AHGC的周长等于： AB+AC+CD+DF+FG+GH+EH+BE ②

根据①式对②式进行等量代换，就得到所求最大长方形的周长正好等于长方形ABDC的周长加上长方形EHGF的周长。 所以，图6-1中最大长方形的周长是： 7×2+5×2=24（厘米）

【分析与解】根据题意列成各种等量关系式：

鱼头重量=鱼尾重量+鱼身重量×1/2…………………① 鱼身重量=鱼头重量+鱼尾重量………………………②

鱼重量=鱼头重量+鱼身重量+鱼尾重量 将①式代入②式得：

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【例4】甲乙两数之差是16.65，如果将乙数的小数点向右移动一位就与甲数相等，求甲、乙两数。

【分析与解】把一个小数的小数点向右移动一位，这一个数就扩大10倍。乙数扩大10倍后才与甲数相等，可见甲数是乙数的10倍。 把题目中的条件简写成这样的两个关系式：

甲数-乙数=16.65……………………………………① 乙数×10=甲数………………………………………② 由②式可知用“乙数×10”可代换甲数，所以①式可变成： 乙数×10-乙数=16.65， 乙数×（10-1）=16.65。

由此，我们可得出这道题的解答方法： 乙数：16.65÷（10-1）=1.85， 甲数：1.85×10=18.5。

如果把题目要求的未知量用字母来表示，那么用代换法消去未知量的过程就一目了然了。

【例5】用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？

【分析与解】设小水泵每小时的抽水量为X立方米，大水泵每小时的抽水量为Y立方米。根据题意，有

把①式改写成

6X+4×2Y=312……………………………………… ③ 把②式中的“2Y”用“5X”代换，③式可写成 26 X=312

解方程，得 X=12

由X=12 可知 5X=60，用它代换“2Y”可得 2Y=60 Y=30

这就是说，小水泵每小时抽水12立方米，大水泵每小时抽水30立方米。 【例6】图 6-2中，正方形面积是50平方厘米。求阴影部分的面积。

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【分析与解】要求阴影部分的面积，必须知道正方形的面积和扇形的面积，然后用正方形的面积减去扇形的面积求得阴影部分的面积。正方形的面积已知道，扇形的面积还不知道。要求出扇形面积必须知道扇形的半径，而扇形的半径就是正方形的边长，从正方形的面积求正方形边长，小学阶段没有学过，怎么办呢？如果把计算扇形面积的公式“S=πr2÷4”认真观察、思考一下，就不难发现这里的r2恰好是正方形边长的平方，就等于正方形的面积50平方厘米。所以，计算扇形面积只要用“50”代换算式中的r2就可以了，没有必要再求出半径r的长度。因此，这道题可列式解答如下： 50-3.14×50÷4 =50-39.25

=10.75（平方厘米） 【思考题】

1.在图6-3中，梯形的下底是6厘米，高3厘米，DF=2厘米，求阴影部分面积。

[提示：连接F、B，那么△BCE的面积与△BFE面积相等。]

2.在图6-4中，两个圆的半径都是1厘米，S2=S4。求长方形AO1O2B的面积。

[提示：长方形AO1O2B是由S1、S2、S3、S4四个部分组成的，S长方形

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