2012年各地高考模拟试题中导数题大汇编(5)

②在x?b??2时，f'(x)min?f'(?2)?12?12b?b?0,b??； 612b?b2b③在?2??1时，f'(x)min??0则0?b?6.

126综合上述讨论可知，所求参数b的取值范围是b?0.

13x?bx2?cx?bc，其导函数f?(x). 34（1）如果函数f(x)在x?1处有极值?，试确定b、c的值；

373、已知关于x的函数f(x)??（2）设当x?(0,1)时，函数y?f(x)?c(x?b)的图象上任一点P处的切线斜率为k，若k?1，求实数

b的取值范围.

?f'(1)??1?2b?c?04?2解析：（1）f'(x)??x?2bx?c、因为函数f(x)在x?1处有极值?、所以?143f(1)???b?c?bc???33?解得??b?1?b??1或?； c??1c?3??2（i）当b?1,c??1时，f'(x)??(x?1)?0、所以f(x)在R上单调递减，不存在极值； （ii）当b??1,c?3时，f'(x)??(x?3)(x?1)、x?(?3,1)时，f'(x)?0，f(x)单调递增、

x?(1,??)时，f'(x)?0，f(x)单调递减、所以f(x)在x?1处存在极大值，符合题意，

综上所述，满足条件的值为b??1,c?3； （2）当x?(0,1)时，函数y?f(x)?c(x?b)??13x?bx2、设图象上任意一点P(x0,y0)，则322k?y'|x?x0??x0?2bx0,x0?(0,1)、因为k?1，所以对任意x0?(0,1)，?x0?2bx0?1恒成立，所以对任2x0?1x2?1(x?1)(1x)?意x0?(0,1)，不等式b?恒成立、设g(x)?，则g(')x?2x02x2x2、当x?(0,1)时，g'(x)?0

故g(x)在区间(0,1)上单调递减、所以对任意x0?(0,1)，g(x0)?g(1)?1，所以b?1. 74、已知函数f(x)?(x?k)e.

（Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）求f(x)在区间[1,2]上的最小值； （III）设g(x)?f(x)?f'(x)，当范围.

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x35?k?时，对任意x?[0,1]，都有g(x)??成立，求实数?的取值22解析：（I）f(x)的单调递增区间为(k?1,??)，单调递减区间为(??,k?1)；

（II）当k?2时，f(x)的最小值为(1?k)e；当k?3时，f(x)的最小值为(2?k)e；当2?k?3时，f(x)的最小值为?ek?1； （III）???2e2k?32.

275、已知函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f?x??ax?lnx，其中a?R. （1）已知函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间???,?1?上是单调减函数，求a的取值范围；

（3）试证明对?a?R，存在??(1,e)，使f/????f?e??f?1?e?1.

?ax?lnx,x?0解析：（1）f(0)?0、x?0时，f(x)?f(?x)?ax?ln(?x)、所以f(x)?? ?0,x?0?ax?ln(?x),x?0?（2）函数f(x)是奇函数，则f(x)在区间(??,?1)上单调递减，当且仅当f(x)在区间(1,??)上单调递减， 当x?0时，f(x)?ax?lnx,f'(x)?a?1、由f??x??a?＜0得a＜?、?在区间(1,??)的取值范围

xxxx为??1,0?、所以a的取值范围为???,?1?；

111（3）

11f?e??f?1??qe?1?1、解f?????a??a?、因为1?e?1?e，??e?1为所求. ??a??e?1e?1e?1e?176、某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交m元（3?m?5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9?x?11）时，一年的销售量为(12?x)万件.

（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x（元）的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q(m).

2解析：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L?(x?3?m)(12?m),x?[9,11]

22（2）L?(X)?(12?x)?2(x?3?m)?(12?x)(18?2m?3x).令L??0得x?6?m或x?12（不合

32282题意，舍去）、∵3?m?5，∴8?6?m?.在x?6?m两侧L?的值由正变负. 所以（1）当

333298?6?m?9即3?m?时，Lmax?L(9)?(9?3?m)(12?9)2?9(6?m).

322829（2）当9?6?m?即?m?5时，

3322221Lmax?L(6?m)?(6?m?3?m)[12?(6?m)]2?4(3?m)3，

33332 - 22 -

9?9(6?m),3?m?,??2所以Q(m)??

?4(3?1m)3,9?m?5?32?9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(m)?9(6?m)（万元）； 2921若?m?5，则当每件售价为(6?m)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)?4(3?m)3（万元）. 233177、设函数f(x)?(2?a)lnx??2ax.

x1（1）当a?0时，求f(x)的极值；（2）设g(x)?f(x)?，在[1,??)上单调递增，求a的取值范围；

x（3）当a?0时，求f(x)的单调区间.

1212x?1解析：（1）函数f(x)的定义域为(0,??).当a?0时，f(x)?2lnx?，∴f?(x)??2?. 2xxxx1由f?(x)?0得x?.f(x),f?(x)随x变化如下表：

2111 (0,)(,??) x 222— 0 + f(x) 答：若3?m?f?(x) 减函数 极小值 增函数 122?a（2）由题意，g(x)?(2?a)lnx?2ax，在[1,??)上单调递增，g?(x)??2a?0在[1,??)上恒成立

x设h(x)?2ax?2?a?0在[1,??)上恒成立，当a?0时，2?0恒成立，符合题意；

故f(x)极小值?f()?2?2ln2，没有极大值；

当a?0时，h(x)在[1,??)上单调递增，h(x)的最小值为h(1)?2a?2?a?0，得a??2，所以a?0； 当a?0时，h(x)在[1,??)上单调递减，不合题意； 所以a?0；

2ax2?(2?a)x?111?（3）由题意f?(x)?、令得，f(x)?0x??x?. 122xa211若a?0，由f?(x)?0得x?(0,]；由f?(x)?0得x?[,??).

22111111若a?0，①当a??2时，??，x?(0,?]或x?[,??)，f?(x)?0；x?[?,]，f?(x)?0,

a2a2a2②当a??2时，f?(x)?0

111111③当?2?a?0时，??,x?(0,?]或x?[,??),f?(x)?0;x?[?,],f?(x)?0.

a2a2a211综上，当a?0时，函数的单调递减区间为(0,]，单调递增区间为[,??)；

221111当a??2时，函数的单调递减区间为(0,?],[,??)，单调递增区间为[?,]；

a2a21111当?2?a?0时，函数的单调递减区间为(0,],[?,??),单调递增区间为[?,?].

2a2a

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78、已知函数f(x)?13x?bx2?cx?d，设曲线y?f(x)在与x轴交点处的切线为y?4x?12，f?(x)为3f(x)的导函数，满足f?(2?x)?f?(x)．

f?(x)，m?0，求函数g(x)在[0,m]上的最大值；

（1）求f(x)；（2）设g(x)?x（3）设h(x)?lnf?(x)，若对一切x?[0,1]，不等式h(x?1?t)?h(2x?2)恒成立，求实数t的取值范围．

2解析：（1）f?(x)?x?2bx?c，?f?(2?x)?f?(x)，?函数y?f?(x)的图像关于直线x?1对称，则

b??1．?直线y?4x?12与x轴的交点为(3,0)、?f(3)?0，且f?(3)?4，

13x?x2?x?3． 32??x?x,x?1,222（2）f?(x)?x?2x?1?(x?1)，g(x)?x(x?1)?xx?1?? 2??x?x,x?1.y1?212其图像如图所示．当x?x?时，x?，根据图像得：

224即9?9b?3c?d?0，且9?6b?c?4，解得c?1，d??3．则f(x)?（ⅰ）当0?m?12时，g(x)最大值为m?m； 2?1111?21（ⅱ）当?m?时，g(x)最大值为；

224（ⅲ）当m?O 11?222x1?22时，g(x)最大值为m?m． 22（3）方法一：h(x)?ln(x?1)?2lnx?1，h(x?1?t)?2lnx?t，h(2x?2)?2ln2x?1，?当x?[0,1]x?1时，2x?1?2x?1，?不等式2lnx?t?2ln2恒成立等价于x?t?2x?1且x?t恒成立，由x?t?2x?1恒成立，得?x?1?t?3x?1恒成立，?当x?[0,1]时，3x?1?[1,4]，?x?1?[?2,?1]、

??1?t?1，又?当x?[0,1]时，由x?t恒成立，得t?[0,1]，因此，实数t的取值范围是?1?t?0．

y方法二：（数形结合法）作出函数y?2x?1,x?[0,1]的图像， 其图像为线段AB（如图），

?y?x?t的图像过点A时，t??1或t?1，

4B32A1?2?1O1234xx?t，?要使不等式x?t?2x?1对x?[0,1]恒成立，必须?1?t?1，又?当函数h(x?1?t)有意义时， ?当x?[0,1]时，由x?t恒成立，得t?[0,1]，因此，实数t的取值范围是?1?t?0．

- 24 -

2方法三：?h(x)?ln(x?1)， h(x)的定义域是{xx?1}，?要使h(x?1?t)恒有意义，必须t?x恒成立，

?x?[0,1]，?t?[0,1]，即t?0或t?1．????①

由h(x?1?t)?h(2x?2)得(x?t)?(2x?1)，即3x?(4?2t)x?1?t?0对x?[0,1]恒成立，令

2222?2?t?0,2?t???(x)?3x2?(4?2t)x?1?t2，?(x)的对称轴为x??，则有? 33???(0)?02?t??2?t?1,?1,?0????或?或?、解得?1?t?1．???② 33???(4?2t)2?4?3?(1?t2)?0???(1)?0?综合①、②，实数t的取值范围是?1?t?0． 79、已知函数f(x)?x2ln(ax)(a?0)．

（Ⅰ）若f'(x)?x2对任意的x?0恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当a?1时，设函数g(x)?f(x)1，若x1,x2?(,1),x1?x2?1，求证x1x2?(x1?x2)4． xe解析：（Ⅰ）f'(x)?2xln(ax)?x、f'(x)?2xln(ax)?x?x2，即2lnax?1?x在x?0上恒成立、

2?1?0,x?2，x?2时，单调减，x?2单调增，所以x?2时，u(x) xe有最大值u(2)、u(2)?0,2ln2a?1?2，所以0?a?；

2f(x)111（Ⅱ）当a?1时，g(x)??xlnx,g(x)?1?lnx?0,x?,所以在(,??)上g(x)是增函数，(0,)上

xeee1是减函数、因为?x1?x1?x2?1，所以g(x1?x2)?(x1?x2)ln(x1?x2)?g(x1)?x1lnx1

e设u(x)?2lnax?1?x、u'(x)?即lnx1?x1?x2x?x2ln(x1?x2)、同理lnx2?1ln(x1?x2) x1x2x1?x2x1?x2xxxx?)ln(x1?x2)?(2?1?2)ln(x1?x2)、又因为2?1?2?4,当且仅x2x1x2x1x2x1所以lnx1?lnx2?(1当“x1?x2”时，取等号，又x1,x2?(,1),x1?x2?1，ln(x1?x2)?0，所以

e(2?

x1x2?)ln(x1?x2)?4ln(x1?x2)、所以lnx1?lnx2?4ln(x1?x2)、所以：x1x2?(x1?x2)4 x2x1 - 25 -

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