2012年各地高考模拟试题中导数题大汇编(2)

x2?a41、若函数f(x)?在x?1处取极值，则a? .【答案】3

x?142、已知函数f(x)?x?ax?bx?c(x?[?2,2])的图象过原点，且在x?1处的切线的倾斜角均为

3323?，现4有以下三个命题：①f(x)?x?4x(x?[?2,2])；②f(x)的极值点有且只有一个；③f(x)的最大值与最小值之和为零，其中真命题的序号是 .【答案】①③

43、曲线y?x?x?1在点?1,3?处的切线方程是 .【答案】4x?y?1?0

31在点(1,1)处的切线与直线ax?y?1?0垂直，则a? .【答案】?1 x245、若函数f(x)?2x?lnx在其定义域内的一个子区间(k?1,k?1)内不是单调函数，则实数k的取值范围．．

44、设曲线y?是 .【答案】[1,)

46、设f(x)是一个三次函数，f'(x)其导函数，如图所示是函数y?xf(x)的图像的一部分，则f(x)的极

/32大值与极小值分别为 .【答案】f(?2)与f(2) 二、解答题： 47、已知函数f(x)?

12ax?2x、g(x)?lnx. 2（Ⅰ）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调函数，求a的取值范围. （Ⅱ）是否存在正实数a，使得函数??x??g(x)1?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有两个不同的零点？若存xe在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

解析：（Ⅰ）当a?0时，f(x)?2x在[1,??)上是单调增函数，符合题意，

当a?0时，y?f(x)的对称轴方程为x??22，由于y?f(x)在[1,??)上是单调函数，所以??1，解得 aaa??2或a?0，综上，a的取值范围是a?0或a??2．

（Ⅱ）??x??lnx1?(ax?2)?(2a?1)，因??x?在区间(,e)内有两个不同的零点,所以??x??0， xe - 6 -

即方程ax?(1?2a)x?lnx?0在区间(,e)内有两个不同的实根、设H(x)?ax?(1?2a)x?lnx

21e212ax2?(1?2a)x?1(2ax?1)(x?1) (x?0)、H?(x)?2ax?(1?2a)??、令H?(x)?0，因为a为正 ?xxx数，解得x?1或x??11（舍）、当x?(,1)时, H?(x)?0, H(x)是减函数；当x?(1,e)时, H?(x)?0，2ae?1?H(e)?0,?1H(x)是增函数. 为满足题意、只需H(x)在(,e)内有两个不相等的零点, 故?H(x)min?H?1??0,

e?H(e)?0,??e2?e解得1?a?.

2e?148、定义在R上的函数f(x)?ax?bx?cx?3同时满足以下条件：①f(x)在?0,1?上是减函数，在?1,???32上是增函数；② f(x)是偶函数；③ f(x)在x?0处的切线与直线y?x?2垂直. （Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式；

（Ⅱ）设g(x)?4lnx?m，若存在x??1,e?，使g(x)?f?(x)，求实数m的取值范围.

2解析：（Ⅰ）f?(x)?3ax?2bx?c 、∵f(x)在?0,1?上是减函数，在?1,???上是增函数，

/∴f(1)?3a?2b?c?0??① 、由f(x)是偶函数得b?0?? ② ，又f(x)在x?0处的切线与直线

//11y?x?2垂直，f?(0)?c??1??③，由①②③得a?,b?0,c??1，即f(x)?x3?x?3；

33（Ⅱ）由已知得：若存在x??1,e?，使4lnx?m?x2?1，即存在x??1,e?，使m?4lnx?x2?1， 设M(x)?4lnx?x?1244?2x2x??1,e?，则M?(x)??2x?、令M?(x)?0、∵x??1,e?，∴x?2 xx当x?2时，M?(x)?0，∴M(x)在(2,e]上为减函数、当1?x?2时，M?(x)?0，∴M(x)在[1,2]上为增函数，∴M(x)在[1,e]上有最大值.又M(1)?1?1?0,M(e)?2?e?0，∴M(x)最小值为2?e2、 于是有m?2?e2为所求.

49、已知函数f(x)?lnx?2x（k常数）.

①求函数f(x)的单调区间；②若f(x)?x?lnx恒成立，求k的取值范围.

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321?2k.∵f(x)的定义域为(0,??)，∴当k?0时， x1111当k?0时，由?2k?0可得x?，∴f(x)在(0,)f'(x)??2k?0，f(x)在(0,??)上是增函数、

x2k2kx1是增函数，在(,??)上是减函数.

2k1综上，当k?0时，f(x)的单调增区间是(0,??)， 当k?0时，f(x)的单调增区间是(0,)，单调减区

2k1间是(,??)；

2k解析：（1）由f(x)?lnx?2kx可得f'(x)?（2）由f(x)?x3?lnx恒成立，可得x?2kx?0恒成立，x?(0,??).即2kx??x，∴2k??x恒成立、 ∵?x?0、∵2k?0,k?0、∴k的取值范围是 [0,??). 50、已知函数f(x)?kx,g(x)?（Ⅰ）求函数g(x)?2333lnx. xlnx的单调区间； x（Ⅱ）若不等式f(x)?g(x)在区间(0,??)上恒成立，求实数k的取值范围.

lnx1-lnx‘‘，故其定义域为(0,??)、?g、令g(x)?0，得0?x?e、 （x?0）(x)?2xxlnx‘令g(x)?0，得x?e、故函数g(x)?的单调递增区间为(0,e)、单调递减区间为(e,??)；

xlnxlnxlnx1-2lnx‘‘h(x)?0、解得x?e （Ⅱ）?x?0,kx?、令,?k?2、令h(x)?2、又h(x)?3xxxx解析：（Ⅰ）?g(x)?当x在(0,??)内变化时，h(x)，h(x)变化如下表

x ‘h(x) ‘(0,e) + ↗ e 0 (e,??) - ↘ h(x) 1 2e由表知，当x?e时函数h(x)有最大值，且最大值为51、已知a是实数，函数f(x)?x(x?a)． （1）若f/211，所以，k?.

2e2e?1??3，求a的值及曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（2）求f(x)在区间[0,2]上的最大值.

/2解析：（1）f'(x)?3x?2ax．因为f'(I)?3?2a?3，所以a?0．又当a?0时，f(1)?1、f(1)?3，

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所以曲线y?f(x)在(1,f(I))处的切线方程为3x-y-2=0． （2）令f'(x)?0，解得x1?0,x2?当

2a． 32a?0，即a?0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而fmax?f(2)?8?4a． 32a当?2时，即a?3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而fmax?f(0)?0．

3当0?2a?2a??2a??2，即0?a?3，f(x)在?0,?上单调递减，在?,2?上单调递增． 3?3??3???8?4a,0?a?2.从而fmax?? 、故函数f?x?的最大值为8?4a或0．

??0, 2?a?3.lnx52、已知f(x)?ax?lnx,x?(0,e],g(x)?，其中e是自然常数，a?R．

x（1）讨论a?1时, f(x)的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，f(x)?g(x)?1； 2（3）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

解析：（1）? f(x)?x?lnx,f'(x)?1?1x?1'，∴当0?x?1时，f(x)?0，此时f(x)单调递减， ?xx'当1?x?e时，f(x)?0，此时f(x)单调递增，∴f(x)的极小值为f(1)?1；

（2）?f(x)的极小值为1，即f(x)在(0,e]上的最小值为1、∴f(x)?0,f(x)min?1，

令h(x)?g(x)?1lnx11?lnx'，当0?x?e时，h(x)?0，h(x)在(0,e]上单调递增， ??，h'(x)?22x2x11111????1?f(x)min 、∴在(1)的条件下，f(x)?g(x)?； e22221ax?1 ?xx∴h(x)max?h(e)?（3）假设存在实数a，使f(x)?ax?lnx,x?(0,e]有最小值3，f'(x)?a?'① 当a?0时，?x?(0,e] ?f(x)?0，所以f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)min?f(e)?ae?1?3、 解得a?②当0?4（舍），所以，此时f(x)无最小值. e1111?e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增、f(x)min?f()?1?lna?3，a?e2，aaaa满足条件.

1?e时，? x?(0,e],?f'(x)?0，所以f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)min?f(e)?ae?1?3,解a4得a?（舍），所以，此时f(x)无最小值.

e③ 当

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综上，存在实数a?e2，使得当x?(0,e]时f(x)有最小值3.

53、为了在如图所示的直河道旁建造一个面积为5000m的矩形堆物场，需砌三面砖墙BC、CD、DE，出于安全原因，沿着河道两边需向外各砌10m长的防护砖墙AB、EF，若当BC的长为xm时，所砌砖墙的总长度为ym，且在计算时，不计砖墙的厚度，求 （1）y关于x的函数解析式y?f(x)；

（2）若BC的长不得超过40m，则当BC为何值时，y有最小值，并求出这个最小值.

2解析：（1）y?f?x??2x?（2）令2x?5000?20x?x?0?；

500050005000（0，40]、因为y/?2?2在(0,40]恒小于0、所以y?2x?得x?50??20xxx在(0,40]内递减、故当x?40m时.y取理最小值225m.

54、已知函数f(x)?ax?bx(x?R)．

（1）若函数f(x)的图象在点x?3处的切线与直线24x?y?1?0平行，函数f(x) 在x?1处取得极值，

求函数f(x)的解析式，并确定函数的单调递减区间；

（2）若a?1，且函数f(x)在[?1,1]上是减函数，求b的取值范围．

3/2解析：（1）已知函数f(x)?ax?bx(x?R)，f(x)?3ax?b，函数f(x)图象在点x?3处的切线与直

//3河道ABCEjDF?f(3)?27a?b?24，且f(1)?3a?b?0，线24x?y?1?0平行，且函数f(x)在x?1处取得极值，

解得a?1,b??3、?f(x)?x?3x，且f(x)?3x?3、令f(x)?3x?3?0??1?x?1，所以函数的单调递减区间为[?1,1]；

3/2/2?f(x)?3x?b?0在[?1,1]（2）当a?1时，f(x)?x?bx(x?R)，又函数f(x)在[?1,1]上是减函数、

上恒成立，即b??3x2在[?1,1]上恒成立?b??3．函数f(x)??x?3x，设g(x)?6lnx?f?(x)（其中，若曲线y?g(x)在不同两点A(x1,g(x1))、B(x2,g(x2))处的切线互相平行，且f?(x)为f(x)的导函数）

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