2012年各地高考模拟试题中导数题大汇编(3)

g(x1)?g(x2)6?m恒成立，求实数m的最大值．?g(x)?6lnx?3x2?6x、?g?(x)??6x?6、依题意

x1?x2x有g?(x1)?g?(x2)，且x1?x2、即

66?6x1?6??6x2?6，∴x1x2?1 、 x1x22)?6(x1?x2)3(x1?x2)2?6(x1?x2)?6g(x1)?g(x2)6ln(x1x2)?3(x12?x2? ?

x1?x2x1?x2x1?x2?3(x1?x2)?66?6、令x1?x2?t，则t?2、??(t)?3t??6在(2,??)上单调递增、

x1?x2tg(x1)?g(x2)??3、?m??3、?实数m的最大值为?3．

x1?x2??(t)??(2)??3、?55、已知函数f(x)?13mmx?(2?)x2?4x?1,g(x)?mx?5. 32 (1)当m?4时,求f(x)的单调递增区间；

(2)是否存在m?0，使得对任意的x1,x2?[2,3],都有f(x1)?g(x2)?1恒成立.若存在,求出m的取值范

围；若不存在,请说明理由.

解析：(1)f?(x)?mx2?(4?m)x?4?(x?1)(mx?4)、当m?4时,f?(x)?4(x?1)2?0,∴f(x)在

44?1, ∴f(x)的递增区间为(??,),(1,??). mm44 (2)假设存在m?0,使得命题成立,此时f?(x)?m(x?1)(x?.∵m?0, ∴)?1. 则f(x)在

mm44(??,)和(1,??)递减,在(,1)递增.∴f(x)在[2,3]上单减,又g(x)在[2,3]单减.

mm2∴f(x)max?f(2)?m?1,g(x)min?g(3)?3m?5.因此,对x1,x2?[2,3],f(x1)?g(x2)?1恒成立.

3215即[f(x1)?g(x2)]max?1, 亦即f(x1)max?g(x2)min?1恒成立.∴m?1?(3m?5)?1、∴m??.

3715又m?0，故m的范围为[?,0).

71256、已知f(x)?xlnx,g(x)?x?x?a．

2(??,??)上单增,当m>4时,

（1）当a?2时，求函数y?g(x)在[0,3]上的值域；(2) 求函数f(x)在[t,t?2](t?0)上的最小值； (3) 证明: 对一切x?(0,??)，都有xlnx?g?(x)?12?成立． exe解析：（1）∵g(x)=

133(x?1)2?, x?[0,3]， 当x?1时，gmin(x)?g(1)?；当x?3时，222- 11 -

gmax(x)?g(3)?737、故g(x)值域为[,]； 2221e1e（2）f'(x)?lnx?1，当x?(0,)，f'(x)?0，f(x)单调递减，当x?(,??)，f'(x)?0，f(x)单调递增． ①0?t?t?2?，t无解；

1e1111?t?2，即0?t?时，f(x)min?f()??； eeee11③?t?t?2，即t?时，f(x)在[t,t?2]上单调递增，f(x)min?f(t)?tlnt． ee②0?t?57、已知函数f(x)?13． x?ax2?bx（a、b?R）

3(Ⅰ) 曲线C:y?f(x)经过点P(1,2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y?2x?1，求a、b的值； (Ⅱ) 已知f(x)在区间 (1,2)内存在两个极值点，求证：0?a?b?2．

2?1a??,??f(1)??a?b?2,??3解析：(Ⅰ)f?(x)＝x2?2ax?b，由题设知? 解得? 37??b?.?f?(1)?1?2a?b?2,?3?(Ⅱ)因为f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点，所以f?(x)?0，即x2?2ax?b?0在(1,2)内有两个不等的

?f?(1)?1?2a?b?0,?f?(2)?4?4a?b?0,?实根．故??1??a?2,2???4(a?b)?0.?(1)(2)(3)(4)

12由 (1)+(3)得a?b?0、由（4）得a?b?a2?a，

1?2，从而a?b?2、所以0?a?b?2． 458、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE?BF?xcm.

因?2?a??1，故a2?a?(a?)2?（1）若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

32 - 12 -

解析：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a?2x,h?260?2x?2(30?x)(0?x?30) 2(1)S?4ah?8x(30?x)??8(x?15)?1800、所以当x?15时，S取得最大值.

（2）V?a2h?22(?x2?30x2),V'?62x(20?x).由V'?0得x?0（舍）或x?20.当x?(0,20)时，

V'?0；当x?(20,30)时，V'?0、所以当x?20时，V取得极大值，也是最大值.此时

的高与底面边长的比值为

h1?，即包装盒a21. 2m59、已知函数f(x)?mx?,g(x)?2lnx.

x（1）当m?2时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（2）若x?(1,e]时，不等式f(x)?g(x)?2恒成立，求实数m的取值范围.

22解析：（1）切点坐标为(1,0)，∴切线方程为y?4x?4； m?2时，f(x)?2x?,f'(x)?2?3,f'(1)?4、

xx112(x?1)（2）m?1时，令h(x)?f(x)?g(x)?x??21lnx,则h'(x)?1?2???0 2xxxx∴h(x)在(0,??)上是增函数. 又h(e).h()??(?e?2)2?0,?h(x)在(,e)上有且只有一个零点、 ∴方程f(x)?g(x)有且仅有一个实数根；（或说明h(1)?0也可以）；

21e1e1em?2lnx?2恒成立，即m(x2?1)?2x?2xlnx恒成立，`?x2?1?0 x2x?2xlnx2x?2xlnx则当x?(1,e]时，m?恒成立，令G(x)?,当x?(1,e]时， 22x?1x?1（3）由题意知，mx??2(x2?1).lnx?4G'(x)??0、则G(x)在x?(1,e]时递减，∴G(x)在x?(1,e]时的最小值为 22(x?1)G(e)?

4e4e，则的取值范围是(??,). me2?1e2?1260、已知函数f(x)?x?alnx．

（1）当a??2e时，求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数g(x)?f(x)?2x在[1,4]上是减函数，求实数a的取值范围．

解析：（1）函数f(x)的定义域为(0,??)、当a??2e时，f?(x)?2x?2e2(x?e)(x?e)、当x变?xx - 13 -

化时，f?(x),f(x)的变化情况如下：

?f(x)的单调递减区间是(0,e) 单调递增区间是(e,??)；

（2）由g(x)?x?alnx?2x，得g?(x)?2x?a?2、又函数g(x)?x2?alnx?2x为[1,4]上的单调xa减函数，则g?(x)?0、在[1,4]上恒成立，所以不等式2x??2?0在[1,4]上恒成立，即a?2x?2x2x2在[1,4]上恒成立．设?(x)?2x?2x，显然?(x)在[1,4]上为减函数，所以?(x)的最小值为?(4)??24、

2?a的取值范围是a??24．

61、某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元（t为常数，

且2?t?5），设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元（25?x?40），根据市场调查，日销售量q与

ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，且销售量为100公斤（每日利润=日销售量×（每公斤出

厂价-成本价-加工费））．

（1）求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；

（2）若t?5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．

100e30kk30解析：（Ⅰ）设日销量q?x,则30?100,?k?100e 、?日销量q?、 xeee100e30(x?20?t)?y?(25?x?40)；

ex100e30(x?25)100e30(26?x)//?y?y?0y?0得x?26， （Ⅱ）当t?5时，y?、、由得，由x?26xxee4所以当x?26时ymax?100e、当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元．

62、某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2?设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． （Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

x)x万元．假

解析：（Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(n?1)x?m即n?所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(m?1、 xmm256x?mx?2m?256. -1)+(2?x)x?xxx3 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f'(x)??256mx2331m2?mx?2(x2?512).令f'(x)?0，得x2?512，所以x?64 22x 当0?x?64时f'(x)?0、f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64?x?640时，f'(x)?0、f(x)在区 间(64,640)内为增函数、所以f(x)在x?64处取得最小值，此时n?m640?1??1?9.故需新建9个桥墩x64 - 14 -

才能使y最小． 63、已知函数f(x)?13x?ax2?6x?1，当x?2时，函数f(x)取得极值. 3 （I）求实数a的值；（II）若1?x?3时，方程f(x)?m?0有两个根，求实数m的取值范围.

13x?ax2?6x?1，则f?(x)?x2?2ax?6、因在x?2时，f(x)取到极值， 35所以f?(2)?0?4?4a?6?0、解得a??；

2152 （II）由（I）得f(x)?x3?x2?6x?1且1?x?3、则f?(x)?x?5x?6?(x?2)(x?3)

32解析：（I）由f(x)?由f?(x)?0解得x?2或x?3；f?(x)?0，解得x?3或x?2；f?(x)?0，解得2?x?3

?f(x)的递增区间为:(??,2)和(3,??)；f(x)递减区间为:(2,3)、又f(1)?要f(x)?m?0有两个根,则f(x)??m有两解，由图知?17117,f(2)?,f(3)? 632117?m??． 3264、某商场预计2010年从1月起前x个月顾客对某种世博商品的需求总量P(x)件2010年世博会在上海召开，与月份x的近似关系是：P(x)?1． x(x?1)(41?2x)（x?12且x?N?）

2（Ⅰ）写出第x月的需求量f(x)的表达式；

?f(x)?21x,1?x?7且x?N*,?（Ⅱ）若第x月的销售量g(x)??x212（单位：件），

?x(x?10x?96),7?x?12且x?N*?e31000ex?6每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)?，求该商场销售该商品，预计第几月的月利润

x达到最大值？月利润最大值是多少？(e?403)．

6解析：（1）当x?1时，f(1)?P(1)?39；当x?2时，

f(x)?P(x)?P(x?1)?211x(x?1)(41?2x)?(x?1)x(43?2x)?3x(14?x) 22?∴f(x)??3x?42x（x?12且x?N）．

?3000ex?6(7?x),?（2）h(x)?q(x)?g(x)??1000132(x?10x?96x),?63?e1?x?7,7?x?12,且x?N*

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