2012年各地高考模拟试题中导数题大汇编(4)

?3000ex?6(6?x),1?x?7,?∵当1?x?6时，∴h(x)在x?[1,6]h'(x)??1000且x?N*；h'(x)?0，

?6(x?8)(x?12),7?x?12,?e上单调递增，∴ 当1?x?7且x?N?时，h(x)max?h(6)?3000；∵当7?x?8时，h'(x)?0，当

8?x?12时，h'(x)?0，∴当7?x?12且x?N?时，

1000?2991000?299??3000； 6403e综上，预计第6个月的月利润达到最大，最大月利润为3000元．

a65、设函数f(x)?ax??2lnx.x h(x)max?h(8)?（Ⅰ）若f(x)在x?2时有极值，求实数a的值和f(x)的单调区间； （Ⅱ）若f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围．

解析：（Ⅰ）?f(x)在x?2时有极值，?有f'?2??0， 又f'?x??a?a2a，有?a??1?0，?2xx4444221?a?、?有f'?x???2??2?2x2?5x?2?， 由f'?x??0得x1?、x2?2，

555xx5x2又x?0?x,f'?x?,f?x?关系有下表

x f'?x? f?x? 0?x?1 2x?1 2? 递增 0 1?x?2 2? 递减 x?2 0 x?2 ? 递增 11?f(x)递增区间为(0,]和[2,??)，递减区间为(,2)；

22a2ax2?2x?a（Ⅱ）若f(x)在定义域上是增函数,则f'?x??0在x?0时恒成立，?f'?x??a?2??，2xxx?需x?0时ax2?2x?a?0恒成立，化为a?2x2x2恒成立，??1，?需a?1，此为所求. ?221x?1x?1x?x66、设函数y?f(x)?ax?bx?cx?d的图象在x?0处的切线方程为24x?y?12?0. （Ⅰ）求c，d；（Ⅱ）若函数在x?2处取得极值?16，试求函数解析式并确定函数的单调区间.

2解析：（Ⅰ）f(x)的定义域为R，f?(x)?3ax?2bx?c，∴f?(0)?c、∵切线24x?y?12?0的斜率

32为k??24，∴c??24，把x?0代入24x?y?12?0得y?12，∴P(0,12)，∴d?12、∴c??24、

- 16 -

d?12.

（Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)?ax?bx?24x?12、由已知得?32?f(2)??16?8a?4b?36??16??

??f(2)?0?12a?4b?24?0?a?13222∴?、∴f(x)?x?3x?24x?12、∴f?(x)?3x?6x?24?3(x?2x?8)?3(x?4)(x?2) ?b?3由f?(x)?0得，x??4或x?2；由f?(x)?0得?4?x?2； ∴f(x)的单调增区间为(??,?4),(2,??)； 单调减区间为(?4,2).

67、已知函数f(x)?ax?lnx(a?R).

(Ⅰ)当a?2时，求f(x)在区间[e,e]上的最大值和最小值；

(Ⅱ)如果函数g(x),f1(x),f2(x)在公共定义域D上，满足f1(x)?g(x)?f2(x)，那么就称g(x)为

2211f1(x),f2(x)的“伴随函数”.已知函数f1(x)?(a?)x2?2ax?(1?a2)lnx，f2(x)?x2?2ax.

22若在区间(1,??)上，函数f(x)是f1(x),f2(x)的“伴随函数”，求a的取值范围.

14x2?12解析： (Ⅰ)当a?2时，f(x)?2x?lnx，f?(x)?4x??、对于x?[e,e]，有f?(x)?0，

xx2∴f(x)在区间[e,e]上为增函数，∴f(x)max?f(e2)?2?2e4,f(x)min?f(e)?1?2e2. (Ⅱ)在区间(1,??)上，函数f(x)是f1(x),f2(x)的“伴随函数”，则f1(x)?f(x)?f2(x)， 令p(x)?f(x)?f2(x)?(a?)x2?2ax?lnx?0对x?(1,??)恒成立，

21212x?2ax?a2lnx?0对x?(1,??)恒成立， 21[(2a?1)x?1](x?1)∵p?(x)?(2a?1)x?2a????（*）

xx111①若a?，令p?(x)?0，得极值点x1?1,x2?，当x2?x1?1，即?a?1时，在(x2,??)上有

22a?12且h(x)?f1(x)?f(x)??p?(x)?0，此时p(x)在区间(x2,??)上是增函数，并且在该区间上有p(x)?(p(x2),??)，不合题意；p(x)?(p(1),??)，也不合题意；

②若a?1，则有2a?1?0，此时在区间(1,??)上恒有p?(x)?0，从而p(x)在区间(1,??)上是减函数； 21111要使p(x)?0在此区间上恒成立，只需满足p(1)??a??0?a??，所以??a?.

2222 - 17 -

a2?x2?2ax?a2?(x?a)2又因为h?(x)??x?2a????0,h(x)在(1,??)上是减函数.

xxx1111h(x)?h(1)???2a?0，所以a?.综合可知a的取值范围是[?,].

2424a2(x?a)2另解：（接在（*）号后）先考虑h(x)，h?(x)??x?2a????0，h(x)在(1,??)上递减，

xx只要h(1)?0，即?11(x?1)[(2a?1)x?1]1对x?(1,??)，且a?有?2a?0，解得a?. 而p?(x)?24x4111111即a??2a?0，解得a??，所以??a?，即a的取值范围是[?,]. p?(x)?0. 只要p(1)?0，

2224243268、已知函数f(x)?x?ax?3x.

(1)若f(x)在区间[1,??)上是增函数，求实数a的取值范围； (2)若x??是f(x)的极值点，求f(x)在[1,a]上的最大值；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)?bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

13解析：(1)f/(x)?3x2?2ax?3、f(x)在[1,??)是增函数，∴f/(x)在[1,??)上恒有f/(x)?0，即

f/(x)?3x2?2ax?3?0在[1,??)上恒成立，则必有

a?1且f/(1)??2a?0，∴a?0. 32/2/(2)依题意，f(?)?0、∴a?4，∴f(x)?x?4x?3x、令f(x)?3x?8x?3?0得x1??、

13313x2?3、∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)??6.

(3)函数g(x)?bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程f(x)?x?4x?3x?bx恰有3个不等实根．∴x?4x?3x?bx?0，∴x?0是其中一个根，∴方程x?4x?3?b?0有两个非零不等实根． ∴??0且?3?b?0、∴b??7且b??3. ∴存在满足条件的b值，b的取值范围是b??7且b??3. 69、已知f(x)?lnx?32232a?2. g(x)?lnx?2x. x（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y?g(x)相切？请说明理由.

解析：（1）f?(x)?x?a(x?0). x2（ⅰ）当a?0时，?f?(x)?0、?f(x)在(0,??)上单调递增；

（ⅱ）当a?0时，若0?x?a,则f?(x)?0；若x?a，则f?(x)?0?f(x)在?0,a?上单调递减，在(a,??) - 18 -

上单调递增；

（2）设切点为?x0,lnx0?2x0?、?g?(x)?11?2、切线方程为y??lnx0?2x0??(?2)(x?x0)

x0x?切线过点(2,5)，?5??lnx0?2x0??(1?2)(2?x0)、即x0lnx0?2x0?2?0??（＊） x0令?(x)?xlnx?2x?2，??(x)?lnx?1、?当0?x?e时，??(x)?0；当x?e时，??(x)?0

??(x)在?0,e?上单调递减，在(e,??)上单调递增、又

12e?3?1???(e)??e?2?0,?()??0,?(e2)?2?0??(x)?0在?,e2?上有两个零点，即方程（＊）在

ee?e??0,???上有两个根，?过点?2,5?可作两条直线与曲线y?g(x)相切．

x(2?x)ex70、已知函数f(x)?x,g(x)?. 2ee（Ⅰ） 求函数f(x)的极值； （Ⅱ） 求证：当x?1时，f(x)?g(x)； （Ⅲ） 如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，求证：f(x1)?f(2?x2)．

解析：⑴∵f(x)=

x1?x?，∴=．令f?(x)?0，解得x?1． f(x)xxeex f?(x) f(x) (??,1) ＋ ↗ 1 0 极大值(1,??) － 1 e↘ ∴当x?1时，f(x)取得极大值f(1)=

1． ex(2?x)ex1?xex(1?x)(1?x)(e2?e2x)?⑵令F(x)?f(x)?g(x)?x?,则F?(x)=x?．当x?1时，

ee2ee2ex?21?x?0，2x?2，从而e2?e2x?0，∴F?(x)＞0，F(x)在(1,??)是增函数．

∴F(x)?F(1)?11??0，故当x?1时，f(x)?g(x) ee⑶∵f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数．∴当x1?x2，且f(x1)?f(x2)时，x1、x2不可能

在同一单调区间内．∴x1?1?x2，由⑵的结论知x?1时，F(x)?f(x)?g(x)＞0，∴f(x2)?g(x2)． ∵f(x1)?f(x2)，∴f(x1)?g(x2)．又g(x2)?f(2?x2)，∴f(x1)?f(2?x2)．

- 19 -

f(x)?alnx?ax?3(a?R且a?0)．

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数y?f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的斜率为1，问：m在什么范围取值时，对于任意的

mt?[1,2]，函数g(x)?x3?x2[?f?(x)]在区间(t,3)上总存在极值？

2a(1?x)解析：（Ι）由f?(x)?知；当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,??)；

x当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(1,??)，单调减区间是(0,1)；

2a（Ⅱ）由f?(2)???1得a??2，∴f(x)??2lnx?2x?3，f/(x)?2?、

x2mmg(x)?x3?x2[?f/(x)]?x3?(2?)x2?2x、g/(x)?3x2?(4?m)x?2、∵函数g(x)在区间(t,3)上

22总存在极值，∴g?(x)?0有两个不等实根且至少有一个在区间(t,3)内，又∵函数g?(x)是开口向上的二次函

?g?(t)?022/数，且g?(0)??2?0，∴? 、由g(t)?0得m??3t?4∵H(t)??3t?4在[1,2]上单调

tt?g?(3)?0

71、已知函数

递减，所以H(t)min?H(2)??9，∴m??9，由g?(3)?27?3(4?m)?2?0，解得m??综上得：?37； 33737?m??9，所以当m在(?,?9)内取值时，对于任意t?[1,2]，函数33mg(x)?x3?x2[?f?(x)]在区间(t,3)上总存在极值.

23272、已知函数f(x)?x?ax?bx?c.，且曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))处的切线方程为y?3x?1.

（1）若y?f(x)在x??2时有极值，求f(x)的表达式； （2）若函数y?f(x)在区间[?2,1]上单调递增，求b的取值范围.

解析：（1）由f(x)?x3?ax2?bx?c求导数得f'(x)?3x2?2ax?b、过y?f(x)上点P(1,f(1))处的切

线方程为y?f(1)?f'(1)(x?1)，即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1)，而过y?f(x)上的点P(1,f(1))（）1?3?2a?b?3?2a?b?0??处的切线方程为y?3x?1，故?，即?，因为y?f(x)在x??2时有极值，

?a?c?2?1?a?c?3??（2）??故f'(?2)?0,?4a?b??12?（3）、由（1）（2）（3）联立解得a?2,b??4,c?5，所以

f(x)?x3?2x2?4x?5；

2⑵y?f(x)在区间[?2,1]上单调递增，又f'(x)?3x?2ax?b，由（1）知2a?b?0，

?f'(x)?3x2?bx?b，依题意f'(x)?0在[?2,1]上恒成立即3x2?bx?b?0在[?2,1]上恒成立

①在x?b?1时，f'(x)min?f'(1)?3?b?b?0,?b?6； 6- 20 -

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