[数学文]2012年高考真题分类汇编3：导数 word解析版(5)

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24.【2012高考山东文22】 (本小题满分13分)

已知函数f(x)?lnx?k(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y?f(x)在点xe(1,f(1))处的切线与x轴平行.

(Ⅰ)求k的值；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)设g(x)?xf?(x)，其中f?(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x?0,g(x)?1?e?2. 1?lnx?kx 【答案】(I)f?(x)?，

ex1?k由已知，f?(1)??0，∴k?1.

e1?lnx?1x(II)由(I)知，f?(x)?.

ex111设k(x)??lnx?1，则k?(x)??2??0，即k(x)在(0,??)上是减函数，

xxx由k(1)?0知，当0?x?1时k(x)?0，从而f?(x)?0， 当x?1时k(x)?0，从而f?(x)?0.

综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,??).

(III)由(II)可知，当x?1时，g(x)?xf?(x)≤0＜1+e?2，故只需证明g(x)?1?e?2在0?x?1时成立.

1?xlnx?x当0?x?1时，ex＞1，且g(x)?0，∴g(x)??1?xlnx?x.

ex设F(x)?1?xlnx?x，x?(0,1)，则F?(x)??(lnx?2)，

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当x?(0,e?2)时，F?(x)?0，当x?(e?2,1)时，F?(x)?0， 所以当x?e?2时，F(x)取得最大值F(e?2)?1?e?2. 所以g(x)?F(x)?1?e?2.

综上，对任意x?0，g(x)?1?e?2.

25.【2012高考陕西文21】 （本小题满分14分）

设函数fn(x)?xn?bx?c（1）设n?2，b?1,(n?N?,b,c?R)

?1?c??1，证明：fn(x)在区间?,1?内存在唯一的零点；

?2?（2）设n为偶数，f(?1)?1，f(1)?1，求b+3c的最小值和最大值；

（3）设n?2，若对任意x1,x2?[?1,1]，有|f2(x1)?f2(x2)|?4，求b的取值范围； 【解析】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。 【答案】

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