[数学文]2012年高考真题分类汇编3：导数 word解析版(3)

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15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分） 已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) ?1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1

[@#中国教育出版网[z 存在x0∈（x1,x2）,使f?(x0)?k恒成立.

【答案】解：f?(x)?ex?a,令f?(x)?0得x?lna.

当x?lna时f?(x)?0,f(x)单调递减；当x?lna时f?(x)?0,f(x)单调递增，故当

x?lna时，f(x)取最小值f(lna)?a?alna.

于是对一切x?R,f(x)?1恒成立，当且仅当

a?alna?1. ①

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令g(t)?t?tlnt,则g?(t)??lnt.

当0?t?1时，g?(t)?0,g(t)单调递增；当t?1时，g?(t)?0,g(t)单调递减. 故当t?1时，g(t)取最大值g(1)?1.因此，当且仅当a?1时，①式成立. 综上所述，a的取值集合为?1?.

f(x2)?f(x1)ex2?ex1（Ⅱ）由题意知，k???a.

x2?x1x2?x1ex2?ex1令?(x)?f?(x)?k?e?,则

x2?x1xex1x2?x1??(x1)??e?(x2?x1)?1?, ??x2?x1ex2x1?x2??(x2)?e?(x1?x2)?1?. ??x2?x1令F(t)?et?t?1，则F?(t)?et?1.

当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递减；当t?0时，F?(t)?0,F(t)单调递增.

t故当t?0，F(t)?F(0)?0,即e?t?1?0.

从而ex2?x1?(x2?x1)?1?0，ex1?x2ex1ex2?0,?0, ?(x1?x2)?1?0,又

x2?x1x2?x1所以?(x1)?0,?(x2)?0.

因为函数y??(x)在区间?x1,x2?上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在

x0?(x1,x2)使?(x0)?0,即f?(x0)?k成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出f(x)取最小值

f(lna)?a?alna.对一切x∈R，f(x) ?1恒成立转化为f(x)min?1从而得出求a的取值集

合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，

通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

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16.【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）

设函数f(x)= ex－ax－2 (Ⅰ)求f(x)的单调区间

(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f′(x)+x+1>0，求k的最大值 【答案】

17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数f(x)?ax3?bx?c在x?2处取得极值为c?16

（1）求a、b的值；（2）若f(x)有极大值28，求f(x)在[?3,3]上的最大值．

【解析】（Ⅰ）因f(x)?ax3?bx?c 故f?(x)?3ax2?b 由于f(x) 在点x?2 处取得极值

故有??f?(2)?0?12a?b?0?12a?b?0?a?1即? ，化简得?解得?

?f(2)?c?16?8a?2b?c?c?16?4a?b??8?b??1232（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)?x?12x?c，f?(x)?3x?12

令f?(x)?0 ，得x1??2,x2?2当x?(??,?2)时，f?(x)?0故f(x)在(??,?2)上为增函数；

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当x?(?2,2) 时，f?(x)?0 故f(x)在(?2,2) 上为减函数 当x?(2,??) 时f?(x)?0 ，故f(x)在(2,??) 上为增函数。

由此可知f(x) 在x1??2 处取得极大值f(?2)?16?c，f(x) 在x2?2 处取得极小值

f(2)?c?16f(?3?)由题设条件知

1?6c? 得

c?12此时

c?9?f21，f,?c?(2)?c??16???4因此f(x) 上[?3,3]的最小值

为f(2)??4

【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数f(x)进行求导，根据f?(2)?0=0，f(2)?c?16，求出a，b的值．（1）根据函数

f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a，b的值，再令导数等于0，

求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极

小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值．

18.【2012高考湖北文22】（本小题满分14分） 设函数

方程为x+y=1.

（1）求a,b的值；

（2）求函数f(x)的最大值 （3）证明：f(x)< 【答案】

，n为正整数，a,b为常数，曲线y=f(x)在（1，f(1)）处的切线

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【解析】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有e,lnx等的函数求导的运算及其应用考查.

19.【2012高考安徽文17】（本小题满分12分）

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