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2012高考试题分类汇编（数学文）
3 导数
1.【2012高考重庆文8】设函数f(x)在R上可导，其导函数f?(x)，且函数f(x)在x??2处取得极小值，则函数y?xf?(x)的图象可能是
【答案】C
【解析】：由函数f(x)在x??2处取得极小值可知x??2，f?(x)?0，则xf?(x)?0；
x??2，f?(x)?0则?2?x?0时xf?(x)?0，x?0时xf?(x)?0
【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题． 2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数
A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞b B. 若ea+2a=eb+3b，则a＜b C. 若ea-2a=eb-3b，则a＞b D. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.
【解析】若ea?2a?eb?3b，必有ea?2a?eb?2b．构造函数：f?x??ex?2x，则f??x??ex?2?0恒成立，故有函数f?x??ex?2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余
选项用同样方法排除．
2+lnx 则 （ ） x11A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
223.【2012高考陕西文9】设函数f（x）=
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C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D. 【解析】?f?(x)??21x?2??2,令f?(x)?0,得x?2.当0?x?2时, f?(x)?0;当2xxx2x?2时, f?(x)?0.所以函数f(x)??lnx在(0,2)上单调递减,在(2,??)上单调递增,
x故x?2为f(x)的极小值点,故选D. 4.【2012高考辽宁文8】函数y=
12
x?㏑x的单调递减区间为 2（A）（?1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞） 【答案】B 【解析】?y?121x?lnx,?y??x?,由y?≤0，解得-1≤x≤1,又x?0,?0?x≤1,故2x选B
【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。
5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：
①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0. 其中正确结论的序号是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C．
6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，?2，
2
过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) ?4 (D) ?8
【答案】C
【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，?2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由x?2y,则y?212x,?y??x,所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，?2，所2以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为y?4x?8,y??2x?2,联立方程组解得
x?1,y??4,故点A的纵坐标为?4
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，
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属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。
7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________ 【答案】y?4x?3
【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.
?【解析】∵y?3lnx?4，∴切线斜率为4，则切线方程为：4x?y?3?0.
8.【2012高考上海文13】已知函数y?f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,1)、
12C(1,0)，函数y?xf(x)（0?x?1）的图像与x轴围成的图形的面积为
【答案】
1。 41?2x,0?x???2【解析】根据题意，得到f(x)??，
??2x?2,1?x?1??21?22x,0?x???2y?xf(x)??所以围成的面积为
??2x2?2x,1?x?1?2?1从而得到
S??2xdx??1(?2x2?2x)dx?212011，所以围成的图形的面积为 .
44【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图
形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.
9【2102高考北京文18】（本小题共13分） 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。
若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值； 当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。 【答案】
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10.【2012高考江苏18】（16分）若函数y?f(x)在x?x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y?f(x)的极值点。
已知a，b是实数，1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点． （1）求a和b的值；
（2）设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点；
2]，求函数y?h(x)的零点个数． （3）设h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2，【答案】（1）由f(x)?x3?ax2?bx，得f'(x)?3x2?2ax?b。 ∵1和?1是函数f(x)?x3?ax2?bx的两个极值点，
∴ f'(1)?3?2a?b=0，f'(?1)?3?2a?b=0，解得a=0，b=?3。 （2）∵ 由（1）得，f(x)?x3?3x ，
∴g?(x)?f(x)?2=x3?3x?2=?x?1??x?2?，解得x1=x2=1，x3=?2。 ∵当x0， ∴x=?2是g(x)的极值点。
∵当?2
（3）令f(x)=t，则h(x)?f(t)?c。
先讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况：d???2, 2?
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当d=2时，由（2 ）可知，f(x)=?2的两个不同的根为I 和一2 ，注
意到f(x)是奇函数，∴f(x)=2的两个不同的根为一和2。
当
d<2时，∵f(?1)?d=f(2)?d=2?d>0，
f(1)?d=f(?2)?d=?2?d<0 ，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是f(x)=d的根。
由（1）知f'(x)=3?x?1??x?1?。
① 当x??2，???时，f'(x)>0 ，于是f(x)是单调增函数，从而
f(x)>f(2)=。2
此时f(x)=d在?2，???无实根。
② 当x??1 2，?时．f'(x)>0，于是f(x)是单调增函数。 又∵f(1)?d<0，f(2)?d>0，y=f(x)?d的图象不间断， ∴f(x)=d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理，f(x)=d在（一2 ，一I ）内有唯一实根。 ③ 当x???1 ，1?时，f'(x)<0，于是f(x)是单调减两数。 又∵f(?1)?d>0， f(1)?d<0，y=f(x)?d的图象不间断， ∴f(x)=d在（一1，1 ）内有唯一实根。
因此，当d=2时，f(x)=d有两个不同的根x1，x2满足x1=1， x2=2； 当d<2 时 f(x)=d有三个不同的根x3，x1，x5，满足xi<2， i=3, 4, 5。现考虑函数y?h(x)的零点：
( i ）当c=2时，f(t)=c有两个根t1，t2，满足t1=1，t2=2。 而f(x)=t1有三个不同的根，f(x)=t2有两个不同的根，故y?h(x)有5 个
零点。
( 11 ）当c<2时，f(t)=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足
ti<2， i=3, 4, 5。
而f(x)=ti ?i=3, 4, 5?有三个不同的根，故y?h(x)有9 个零点。 综上所述，当c=2时，函数y?h(x)有5 个零点；当c<2时，函数y?h(x)有9 个零点。
【考点】函数的概念和性质，导数的应用。
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