[数学文]2012年高考真题分类汇编3：导数 word解析版(2)

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【解析】（1）求出y?f(x)的导数，根据1和?1是函数y?f(x)的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，f(x)?x3?3x，求出g?(x)，令g?(x)=0，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分d=2和d<2讨论关于x 的方程f(x)=d 根的情况；再考虑函数y?h(x)的零点。

11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分） 已知函数f(x)?131?a2x?x?ax?a，x32其中a>0.

（I）求函数f(x)的单调区间；

（II）若函数f(x)在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；

（III）当a=1时，设函数f(x)在区间[t,t?3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[?3,?1]上的最小值。 【答案】

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12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）

设0?a?1，集合A?{x?R|x?0}，B?{x?R|2x2?3(1?a)x?6a?0}，

D?A?B.

（1）求集合D（用区间表示）

（2）求函数f(x)?2x3?3(1?a)x2?6ax在D内的极值点. 【解析】（1）令g(x)?2x?3(1?a)x?6a，

2??9(1?a)2?48a?9a2?30a?9?3(3a?1)(a?3)。

① 当0?a?1时，??0， 3www.canpoint.cn 010-58818067 58818068 全品高考网邮箱：canpoint@188.com

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，

方程

g(x?)3a?3?9a2?30a?9的0两个根分别为x1?43a?3?9a2?30a?9， x2?4所

以

g(x?的解集为

3a?3?9a2?30a?93a?3?9a2?30a?9(??,)?(,??)。

44因

为

x1,x2?0，所以

3a?3?9a2?30a?93a?3?9a2?30a?9D?A?B?(0,)?(,??)。

44② 当综

1?a?1时，??0，则g(x)?0恒成立，所以D?A?B?(0,??)， 310?a?上所述，当时

3，

3a?3?9a2?30a?93a?3?9a2?30a?9D?(0,)?(,??)；

44当

1?a?1时，D?(0,??)。 3（2）f?(x)?6x2?6(1?a)x?6a?6(x?a)(x?1)， 令f?(x)?0，得x?a或x?1。

① 当0?a?1时，由（1）知D?(0,x1)?(x2,??)， 3因为g(a)?2a2?3(1?a)a?6a?a(3?a)?0，g(1)?2?3(1?a)?6a?3a?1?0， 所以0?a?x1?1?x2，

所以f?(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (0,a) a 0 极大值 ? ↗ (a,x1) ? ↘ (x2,??) ? ↗ 所以f(x)的极大值点为x?a，没有极小值点。

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② 当

1?a?1时，由（1）知D?(0,??)， 3所以f?(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (0,a) ? ↗ a 0 极大值 (a,1) ? ↘ 1 0 极小值 (1,??) ? ↗ 所以f(x)的极大值点为x?a，极小值点为x?1。 综上所述，当0?a?当

1时，f(x)有一个极大值点x?a，没有极小值点； 31?a?1时，f(x)有一个极大值点x?a，一个极小值点x?1。 3

13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分） 已知函数f(x)?axsinx?3??3???(a?R),且在,?0,?上的最大值为， 22?2?（1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

由（1）知f（x）=xsinx-∴f（x）在[0,

33??-3，f（0）=-<0，f（）=>0， 2222??]上至少有一个零点，又由（1）知f（x）在[0, ]上单调递增， 22故在[0,

????']上只有一个零点，当x??，??时，令g（x）=f(x)=sinx+xcosx， 2?2????????g（）=1>0，g（?)=-?<0，g（x）在?，??上连续，∴m??，??，g（m）=0

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??????'g（x)=2cosx-xsinx<0，∴g（x）在?，??上递减，当x??，m?时，

?2??2?g(x)>g（m）=0，

'f（x)>0，f（x）递增，∴当m?（

????3，m）时，f（x）≥f（）=>0

222∴f（x）在（m，π）上递增，∵f（m）>0 ，f（π）<0,

∴f（x）在（m，π）上只有一个零点，综上f（x）在（0，π）上有两个零点， 【答案】（1）f（x）=xsinx-3；（2）2个零点 2【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想。

14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)

an已知a为正实数，抛物线y??x?与x轴正半轴相交于点A，设f(n)n为自然数，

2为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。

2（Ⅰ）用a和n表示f(n)； （Ⅱ）求对所有n都有

f(n)?1n?成立的a的最小值；

f(n)?1n?1111??????与

f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)（Ⅲ）当0?a?1时，比较

6?f(1)?f(n?1)的大小，并说明理由。

f(0)?f(1)【命题立意】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想 【答案】 【解析】

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