MATLAB与数值分析课程总结(8)

函数名 quad quad8 功能 采用Simpson计算积分。精度高，较常用 采用8样条Newton-Cotes公式计算积分。精度高，最常用 trapz 采用梯形法计算积分。精度差，速度快

积分方程的数值求解

Fredholm积分方程：by(t)???k(t,s)y(s)ds?f(t)a

用数值积分代替积分

由?k(x,s)y(s)ds??Ak(x,x)y(x)

kkkak?1bny(x)???Akk(x,xk)y(xk)?f(x)

k?1ny(xj)???Akk(xj,xk)y(xk)?f(xk)k?1n

??(I??K)y?f

常微分方程初值问题

1. 求解方法

欧拉方法；龙格—库塔方法 2. 稳定性与收敛性分析

（前向）欧拉公式：

?y(xk??)?yk???yk?hf(xk,yk)(k??,?,?,...,n??) ??xk?x??kh后向欧拉公式：

ì?y(x)?yk+1=yk+hf(xk+1,yk+1) ík+1(k=0,1,2,...,n-1)??xk=x0+kh

局部截断误差是O(h2).前向欧拉方法具有一阶精度；

同样可以证明，后向欧拉方法具有一阶精度。欧拉方法误差随着迭代次数的增加而增加。 梯形公式:

目标：求解一阶方程组：y'?f(x,y),y(x(0))?0根据牛顿-莱布尼兹公式，有： y(x(n?1))-y(x(n))??x(n?1)x(n)y'(x)dx??x(n)?hx(n)f(x,y)dx利用梯形积分公式，可得：x(n)?hh ?y'(x)dx?(f(x(n),y(n))?f(x(n?1),y(n?1)))x(n)2则：h y(n?1)?y(n)?f?x(n),y(n)??f?x(n?1),y(n?1)?2??

梯形公式几何意义：是欧拉折线法与后向欧拉法的算术平均。

精度高于前向/后向欧拉算法。

改进欧拉公式：

?预报值 ???校正值?yk?1?yk?hf(xk,yk)yk?1 h?yk?[f(xk,yk)?f(xk?1,yk?1)]2hf(xk,yk))] 2

或表示成： yk?1?yk?[f(xk,yk)?f(xk?1,yk? 平均形式：

??yp?yk?hf(xk,yk)? ??yc?yk?hf(xk??,yp)

??yk????(yp?yc)???h2 局部截断误差是O(h3). 龙格—库塔方法

一般地，RK方法设近似公式为p??yn?1?yn?h?ciKii?1???K1?f(xn,yn)?i?1?Ki?f(xn?aih,yn?h?bijKj)(i?2,3?,p)?j?1?其中ai，bij,ci都是参数，确定它们的原则是使近似公式

在(xn,yn)处的Taylor展开式与y(x)在xn处的Taylor展开式的前面项尽可能多地重合。根据泰勒定理，可表示为：h2hn(n)hn?1(n?1)y(x(n?1))?y(x(n))?hy'(x(n))?y''(x(n))?...?y(x(n))?y(?)2n!(n?1)!又由于：y'(x)?f(x,y)y''(x)?f'(x,y)...y(k)(x)?f(k-1)(x,y)则n阶泰勒法公式为：h2hn(n-1)y(x(n?1))?y(x(n))?hf(x(n),y(n))?f'(x(n),y(n))?...?f(x(n),y(n))2n!

前向欧拉方法为一阶泰勒方法，n阶泰勒方法具有n

阶精度。

例：利用二阶泰勒方法计算微分方程初值问题： y'?y-t2?1解：f(t,y)?y-t2?1,则有： f'(t,y)?y'-2t?y-t2?1-2t f''(t,y)?y'-2t-2?y-t2-2t-1利用二阶泰勒方法，得到迭代公式为：y(n?1)h2h322?y(n)?h(y(n)?t?1)?(y(n)?tn?1?2tn)?(y(n)?tn?1?2tn)26

2n目标：求解一阶方程组：y'?f(x,y),y(x(0))?0根据牛顿-莱布尼兹公式，有： y(x(n?1))-y(x(n))??x(n?1)x(n)y'(x)dx??x(n)?hx(n)y'(x)dx利用simpson积分公式，可得：x(n)?hhh ?y'(x)dx?[y'(x(n))?4y'(x(n)?)?y'(x(n?1))]x(n)62h利用f(x,y)得到y'(x(n))， 4y'(x(n)?)，y'(x(n?1))的近似公式：2

4阶龙格库塔方法,其局部误差具有四阶精度。y(x(n))-y(n)￡Ch4

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