定义：
xp?p????xi??i?1?n1/px矩阵范数
??maxxii
R件：
n?mn?mA,B?R空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条
(1)||A||?0;||A||?0?A?0
(2)||?A||?|?|?||A||
(3)||A?B||?||A||?||B||
(4) || AB || ? || A || · || B ||
常用矩阵范数： Frobenius范数：
由向量范数 || · ||p导出关于矩阵 A ? Rn?n的p范数:
||A||F???|ai?1j?1nnij|2?||Ax||p?||A||p?max?max||Ax||p????x?0||x||p?1||x||p特别有：
||A||??max?|aij|1?i?nnn（行和范数） （列和范数） （谱范数 ）
j?1||A||1?max?|aij|1?j?ni?1T||A||2??max(AA) 谱半径： 矩阵A的谱半径记为
? (A) =maxi?i，其中?i为A的特征根。 定理：
对任意算子范数 || · || 有 ?(A)?||A||定理：
若A对称，则有
A2??(A)
定理：
若矩阵B对某个算子范数满足 ||B|| < 1，则必有(1)(I?B)可逆。
（2）?I?B??1?11?||B||
解线性方程组的迭代法 研究内容：
? 如何建立迭代公式？ ? 收敛速度？
? 向量序列的收敛条件？ ? 误差估计？
（1）雅可比(Jacobi)迭代法
（
2
）
高
斯
—
塞
德
尔
迭
代
法
迭代法的收敛性
迭代矩阵M谱半径小于1.
（3）超松弛迭代 / SOR）
SOR是Gauss-Seidel 迭代法的一种加速法。 (k?1)假设:x(k)已知，xG为Gauss-Seidel 迭代法结果，(k?1)定义:?x?xG-x(k)，则,SOR迭代法的表达式为： x(k?1)?x(k)???x(k?1)(k?1)(k?1)x(k?1)?x(k)???x?x(k)??xG??x(k)? xG?(??1)(xG?x(k))其中，?称为松弛因子。当??1时称为低松弛；??1是Gauss-Seidel迭代；??1时称为超松弛法。
线性方程组迭代收敛性
1.2. 3. 4.
推论2： 松弛法收敛的必要条件是0???2。证明：设松弛法的迭代矩阵M有特征值?1,?2,...,?n。因为 det(M)??1?2...?n?[?(M)]-1n由定理，松弛法收敛必有 det(M)?1又因为 det(M)?(D-?L)(1-?)D??U1 (D-?L)?a11a22...ann-1 (1-?)D??U?(1-?)na11a22...ann?det(M)?(1-?)n?1?0???2。
5.
设有线性方程组Ax?b,下列结论成立：1.若A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。2.若A为严格对角占优阵，0???1,则松弛法收敛。3.若A为对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为0???2。
迭代法的误差估计：
if x(k?1)?Mx(k)?g,M?1,?x??x,then(k)* x If(k)(k)?x?*Mk1?Mx(1)?x(0)
x(k?1)?Mx(k)?g,M?1,*?x??x,then x(k)?x?*M1?Mx(k)?x(k?1)
解线性方程组的误差分析
问题：
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