MATLAB与数值分析课程总结(4)

设A为非奇异矩阵，非齐次方程组Ax?b的准确解为x,当A和b有一个小的扰动?A,?b时，方程组有准确解x??x,即(A??A)(x??x)?b??b我们需要研究?x与?A,?b之间的关系。

? b有扰动，A无扰动

||?x||||?b||?(||A||||A?1||) ||x||||b||

? A有扰动，b有扰动

||?x||?||(I?A?1?A)?1||||A?1||||?A||||x|| ||?x||?(I?A?1?A)?1A?1||x||||A?1||||A||||A?1||||?A||?A?1?||A?1?A||?A?A?||A||?||A?1||||A||?A||A||1?||A?1||||A||||A||

? A有扰动，b有扰动

类似推导，可得||?x||??||x||?A ||A||?b(?)?A||b||||A||1?||A?1||||A||||A||||A?1||||A||?A 定义：

条件数: cond(A) = ||A–-1 || ||A||

条件数与所取的矩阵范数有关。常用的条件数有：（）1cond(A)??A?A?1（2）cond(A)2?A2?

A?12?max(ATA)??min(ATA)当条件数很大时,方程组 Ax = b是病态问题;当条件数较小时,方程组 Ax = b是良态问题。

函数的数值逼近：

1. 代数多项式插值问题

插值基函数和插值多项式； 插值的误差分析；

多项式插值的Runge现象。

2. 分段低次插值

分段线性插值；

Hermite插值和分段Hermite插值。

3. 三次样条插值

样条插值的定义； 三次样条函数的计算；

4. 曲线拟合的最小二乘法

曲线拟合的最小二乘法法； 多项式拟合方法；

Matlab中的多项式拟合函数；

5. 最佳平方逼近

权内积；

正交多项式的最佳平方逼近。

插值问题：

函数解析式未知，或计算复杂，用函数p(x)去近似代替它，使得

p(xi)= yi (i=0,1,2,?,n)

多项式的插值问题 构造n次多项式

Pn(x)= a20 + a1x + a2x+?+ anxn 使满足 Pn(xi)= yi (i=0,1,2,?,n)， 拉格朗日插值

插值多项式的存在唯一性： 结论

通过n+1个节点的n阶插值多项式唯一存在。 拉格朗日插值多项式的一般形式：

l(x)?(x?x0)...(x?xi?1)(x?xi?1)...(x?xn)i(xi?x0)...(xi?xi?1)(xi?xi?1)...(xi?xn)插值公式：

Pn(x)?y0l0(x)?y1l1(x)?...?ynln(x)n??y

klk(x)k?0插值的误差分析

：

分段低次插值

分段线性插值

Ih(x)?x?xk?1x?xkfk?fk?1xk?xk?1xk?1?xkn(xk?x?xk?1)若用插值基函数表示，则：Ih(x)＝?fjlj(x)j?0x?[a,b]其中：lj(x)满足lj(xk)??jk?x?xj?1??xj?xj?1??x?xj?1lj(x)???xj?xj?1?0???xj?1?x?xjxj?x?xj?1x?[xj?1,xj?1]

收敛性：

f(x)?Ih(x)?lk(x)f(x)?fk?lk?1(x)f(x)?fk?1?(lk(x)?lk?1(x))?(hk)??(h)'''其中，?(h)?maxf(x)?f(x)'''x?x?h当f(x)?C[a,b],则lim?(h)?0h?0

因此，只要f(x)?C[a,b]，limIh(x)?f(x)h?0埃尔米特插值

H2n?1(x)?a0?a1x?...?a2n?1x2n?1

mi表示yi的一阶导数

求插值基函数?i(x),?i(x),(i?0,1,...,n)满足：（）1?i(x),?i(x)是2n?1次多项式。(2)(3)于是：H2n?1(x)??[yi?i(x)?mi?i(x)]i?0n?i(xk)??i,k,且?i'(xk)?0,(i,k?0,1,...,n)?'i(xk)??i,k,且?i(xk)?0,(i,k?0,1,...,n)

利用拉格朗日插值基函数

li(x)?(x?x0)...(x?xi?1)(x?xi?1)...(x?xn)

(xi?x0)...(xi?xi?1)(xi?xi?1)...(xi?xn)得到

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