MATLAB与数值分析课程总结(2)

? 数值计算应注意的问题

避免相近二数相减； 避免小分母； 避免大数吃小数； 选用稳定的算法。

绝对误差的运算：

?(x1?x2)??(x1)??(x2)

?(x1x2)?x1?(x2)?x2?(x1)

x??(x?)?x??(x?)x??()? ?x?x??(f(x))?f?(x)?(x)

线性方程组求解的数值方法：

高斯消元法

（1）性质1：若A的所有顺序主子式均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解。

（2）性质2：只要 A 非奇异，即 A 存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解

（3）列主元消去法：如果对角线元素为0，则需要交换元素。列主元消去法值选择该列 k~n 元素中最大值。

（4）全主元消去法在第k步消去前， 在系数矩阵右下角的n-k+1阶主子阵中，选绝对值最大的元素作为主元素

?1

矩阵分解

矩阵LU分解的一般计算公式； 利用LU分解的线性方程组求解方法； Cholesky分解；

Matlab的Cholesky分解函数。

向量范数与矩阵范数

向量范数及其性质； 矩阵函数及其性质； 常用范数形式。

线性方程组的迭代法求解

迭代求解的思路； Jacobi迭代法； 高斯_赛德尔迭代法； 迭代法的收敛性。

方程组的病态问题与误差分析

线性方程组解的误差分析； 条件数和方程组的病态性。

消元法：

问题：

消去法是按照系数矩阵的主对角线上的元素（主元）进行消元。从而可能出现：

（1）某个主元为零，导致消元过程无法进行。 （2）当某个主元的绝对值很小时，计算结果误差很大。 全主元消去法

每一步选绝对值最大的元素为主元素。

|aikjk|?max|aij|?0;k?i,j?n列主元消去法

省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。

|aik,k|?max|aik|?0k?i?n矩阵三角分解法

三角矩阵的性质：

1. 上（下）三角方阵的行列式的值等于对角线元素的乘积； 2. 上（下）三角方阵的转置为下（上）三角矩阵；

3. 上（下）三角方阵的逆矩阵为上（下）三角矩阵，且对角元是原三角矩阵对角元的倒数；

4. 两个上（下）三角方阵的乘积也是上（下）三角矩阵，且对角元是原三角矩阵对角元的乘积。

由 Gauss 消去法加上列主元 ( 或全主元）有 LU 分解： ?LUA?1?l211 ?L?? l31l321??????ln1ln2??u11???? ? U? ??????ln(n?1)1???uu1222

??2n???????unn????1nuu 计算公式：

u?a , j?1, ?,nl?au , i?2, ?, n1j1ji1i111对 k?2, 3, ?, n 计算 ukj?akj??lkmumj j?k , ? , nm?1k-1k-1 lik?(aik??limumk )/ukk i?k?1 , ? , nm?1

éêêêêêê?aaaa11213141aaaa1112223242aaaa13233343aaaa121214243444ùéúê1úêl21ú=êúêl31úêúêl??4101001ll3242l43é0ùêu11ú0úê0úê0úê0ê1úê0ú??uu122200uuuuuu0u13233314211414443444ùúúúúúú?ùúúúúúú?éêê=êêêê ?uululu+ululu+lululu+lu21112131113141121232411142222222ulu+ulu+lu+ulu+lu+lu132113233113322341134223433333ulu+ulu+lu+ulu+lu+lu+u24311432243441144224433444·?·?·?·?·?·?·

按颜色顺序依次计算

不是所有矩阵都可分解为A=LU，更一般形式PA=LU

MATLAB中lu为LU分解函数，调用方式：[L,U,P] = lu(A)

Cholesky分解：

定理：

设矩阵A对称正定，则存在非奇异下三角阵L使得A?LLT 。若限定L对角元为正，则分解唯一。

Matlab中的Cholesky分解函数：

chol（）

? 正定阵的判定：

– A 亦对称正定，且 aii > 0 – A 的顺序主子阵 Ak 亦对称正定 – A 的特征值 ?i > 0 – det ( Ak ) > 0

?1

向量和矩阵的范数

为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，引进向量（矩阵）的范数的概念。 向量范数 定义：

x,y?R满足下列条Rn空间的向量范数 || · || 对任意

件：

??n????（正定性) (1)||x||?0;||x||?0?x?0??(2)||?x||?|?|?||x||(齐次性)

??C????(3)||x?y||?||x||?||y||常用范数：

n（三角不等式)

x1??i?1xi1/2?2?x2???xi??i?1?n

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库MATLAB与数值分析课程总结(2)在线全文阅读。