2017年辽宁省锦州市中考数学试题(解析版)(6)

∵∠DFO=∠DFG+∠GFO=45°+∠GFO， ∴∠DGF=∠DFO，且∠GDF=∠FDO， ∴△DGF∽△DFO， ∴

=

，即DF?GF=DG?OF，

∵OF=OD=OE， ∴DF=GF， ∴GF2=DG?OE．

【点评】本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定，掌握切线的判定方法和相似三角形的判定方法是解题的关键，注意等积法的应用．

六、解答题（本大题共1小题，共10分）

23．（10分）（2017?锦州）为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（包括设施维修费、管理人员工资等）为600元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时，每天来此停放的轿车都为300辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10元，则每超过1元，每天来此停放的轿车就减少12辆次，设每辆次轿车的停车费x元（为便于结算，停车费x只取整数），此停车场的日净收入为y元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：

（1）①当x≤10时，y与x的关系式为： y=300x﹣600 ； ②当x＞10时，y与x的关系式为： y=﹣12x2+420x﹣600 ；

（2）停车场能否实现3000元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说明理由；

（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求，每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？

【分析】（1）①根据“总利润=每辆次停车费用×辆次﹣总成本”列出函数解析式； ②根据“总利润=每辆次停车费用×辆次﹣总成本”可得函数解析式；

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（2）根据停车场有3000元的日净收入，列出方程求解即可；

（3）根据（1）中函数解析式利用一次函数和二次函数性质求解可得．本题中要按照每辆次小车的停车费的变化，来分别讨论停车场的日净收入和每辆次小车的停车费之间的等量关系．然后根据不同的条件来判断出符合“使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入”的取值． 【解答】解：（1）①由题意得：y=300x﹣600； ②由题意得：y=[300﹣12（x﹣10）]x﹣600， 即y=﹣12x2+420x﹣600；

（2）依题意有：﹣12x2+420x﹣600=3000， 解得x1=15，x2=20．

故停车场能实现3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是15元或20元； （3）当x≤10时，停车300辆次，最大日净收入y=300×10﹣600=2400（元） 当x＞10时， y=﹣12x2+420x﹣600 =﹣12（x2﹣35x）﹣600 =﹣12（x﹣17.5）2+3075

∴当x=17.5时，y有最大值．但x只能取整数， ∴x取17或18．

显然，x取17时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．

由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为17元，此时最大日净收入是3072元．

【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式，再根据函数关系式解答是解题的关键．本要注意不同的条件下，函数的不同的变化，要根据题目给出的条件分别进行讨论．

七、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

24．（12分）（2017?锦州）已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．

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（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为 等边三角形 ，说明理由；

（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；

（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、

（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可； （3）首先证明△GFH的周长=3GF=BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；

【解答】解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：

如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．

∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，

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∵EG=GB，EF=FD， ∴FG=BD，GF∥BD， ∵DF=EF，DH=HC， ∴FH=EC，FH∥EC， ∴FG=FH，

∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°， ∴∠DMC+∠DAE=180°， ∴∠DME=120°， ∴∠BMC=60°

∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°， ∴△GHF是等边三角形， 故答案为等边三角形．

（2）如图2中，连接AF、EC．

易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1， ∴AF=

=

，

=

﹣1，

，

在Rt△ABF中，BF=∴BD=CE=BF﹣DF=∴FH=EC=

．

（3）（3）存在．理由如下．

由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=BD，

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∴△GFH的周长=3GF=BD， 在△ABD中，AB=a，AD=b，

∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，

∴△FGH的周长最大值为（a+b），最小值为（a﹣b）．

【点评】本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．

25．（12分）（2017?锦州）如图，抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣1，0），D（﹣2，5）两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；

（2）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒

个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少

时，点M在整个运动过程中用时t最少？

【分析】（1）把B（﹣1，0），D（﹣2，5）代入y=x2+bx+c，得出关于b、c的二元一次方程组，即可求出抛物线的解析式；

（2）根据抛物线解析式求出OA，设P（m，m2﹣2m﹣3），则﹣1≤m≤3，PH=

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