2014年北师大版初三数学中考模拟卷(5)

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求2出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值； （3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组即可求出点P的坐标． 解答： 解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n， 将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入， 得，解得， ，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5； 2将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x+bx+c， 得，解得2， 所以抛物线的解析式为y=x﹣6x+5； （2）设M（x，x﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5）， ∵MN=（﹣x+5）﹣（x﹣6x+5）=﹣x+5x=﹣（x﹣）+∴当x=时，MN有最大值； 2222， （3）∵MN取得最大值时，x=2.5， ∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）． 2解方程x﹣6x+5=0，得x=1或5， ∴A（1，0），B（5，0）， ∴AB=5﹣1=4， 21

∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5， ∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30． 设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD． ∵BC=5， ∴BC?BD=30， ∴BD=3． 过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形． ∵BC⊥BD，∠OBC=45°， ∴∠EBD=45°， ∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6， ∵B（5，0）， ∴E（﹣1，0）， 设直线PQ的解析式为y=﹣x+t， 将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1 ∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1． 解方程组，得，， ∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）． 点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键． 22

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