离散数学复习资料(8)

晓津证明如下：

(1)设任意a,b?N，则必有aΔa-1和bΔb-1?H，由是的子群，可知a,b?H，且aΔb?H因此有(aΔb)Δ(aΔb)-1?H 可得aΔb?N。

(2)对应任意a?N，有aΔa-1?H，同时有a-1Δa?H，因此有a-1?N

所以(N，Δ)是(H，Δ)的子群，因为H?G,所以有N?G. ________________________________________

13、设G是交换群，证明G中一切有限阶元素所组成集合H是G的一个子群。

晓津提问：对于G中有限阶的理解 (1)是指G中的有限阶群，题意是指任何一个有限阶群都是G的一个子群?(2)还是指G中所包含的元素的阶是有限的且这些元素组成的集合是G的一个子群? 请兄弟MM们提供高见。 下面是阮允准同学的证明: 我认为是第2种理解。 证明如下：

设e是＜G，＊＞的幺元 显然e?H,

所以H是G的非空子集。

设任意的a,b?H，则必有正整数m,n使am=e, bn=e

由b*b-1=e,

所以(b*b-1)n=en 所以bn*(b-1)n=e e*(b-1)n=e

所以(b-1)n=e

(a*b-1)mn=amn*(b-1)mn=(am)n*((b-1)n)m=en*em=e 所以a*b-1?H 所以H?G

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14、设G是一个群，～是G的元素间的等价关系，对任意 a,x,y?G,ax～ay=>x～y 证明：

H={x|x?G,x～e}是G的子群，其中e是G的幺元。

晓津证明如下：

我的理解是ax就是指a与x之间进行某种运算的意思。这里我且用*夹在其中表示.

(1)因为e?G，e～e,所以e?H, 若有任意a,x?H

则a,x?G，x～e，a～e可得x～a, 同时有x-1?G，所以有 a*x-1=x*x-1=e a*e＝e*e=e

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即有a*x-1～a*e =〉x-1～e 因此有x-1?H

(2)设任意x,y?H，则有x,y?G，x～e,y～e

又因x*y?G，同上分析，若有任意a?H，有a～e,则 a*(x*y)=e*(e*e)=e； a*e= e；

即有a*(x*y)～a*e => (x*y)～e 所以x*y?H,

因此是的子群

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15、 设,是两个群。在G1×G2上定义☆为：

☆=, 证明： 是一个群。

晓津证明如下：

(1)设有任意,?G1×G2 因为a1*a2?G1，b1Δb2?G2 所以?G1×G2 即☆?G1×G2 因此是封闭的。

(2)设有任意?G1×G2 则有(☆)☆ =☆ =

且☆(☆) =☆ =

可见，在G1×G2上关于☆运算是可结合的。

(3)因为在中有幺元e1,中有幺元e2, 所以在G1×G2上，对任意有

☆== 因此存在幺元e=.

(4)因为在中对每个元素a有逆元a-1，在中对每个元素b有逆元b-1,则 在G1×G2中，对任意有

☆===e

可得是一个群。 4.4习题参考答案

(本节习题答案由jhju提供，晓津补充。旨在抛砖引玉，欢迎请到分课论坛发表不同意见) http://jjzk.yeah.net

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题号：1 2 3 4 5 6 7 8

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1、已知一个环<{a,b,c,d},+,△>,它的运算如表4.4.2所示。

+ a b c d △ a b c d a a b c d a a a a a b b c d a b a c a c c c d a b c a a a a d d a b c d a c a c

请回答：

它是一个交换环吗？它有乘法幺元吗？这个环中的零元是什么？并求出每个元素的加法逆元。

解：<{a,b,c,d},+△>少了个逗号。应该是<{a,b,c,d},+,△>

解：它是一个交换环。因为

可以发现△运算在运算表中关于主对角线对称，所以<{a,b,c,d},△>是可交换的，所以根据定理4.4.2得知其是一个交换环。

此处没有乘法幺元。

环中的零元是根据后半部分运算来得到的。可以发现 a△x=a x△a=a，那么就可以判断 a是零元

每个元素的加法逆元： b元素的加法逆元是 d c元素的加法逆元是 c a的加法逆元是a。

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2、设是一个环，并且对于任意的a?A，都有 a.a=a ,这个环称布尔环， 证明：a)对于任意的a?A,都有 a+a=θ，其中θ是加法幺元。 b) 是可交换环。 解： a)

jhju对教材一点看法： 环的定义中有这么一句：

是阿贝尔群，可是阿贝尔群是什么群呢？我翻了半天左孝凌的教材，没有这个名词的解释。无奈之中，只好翻了一下清华版教材，上面写着“若群G中的二元运算是可交换的，则称群G为交换群，也叫做阿贝尔群(Abel)群。而左孝凌的教材只写了一个abel群，并没有注明阿贝尔群。有的读者不是要被弄糊涂了？

浙江省考办在《计算机应用及教育》专业中《线性代数和离散数学》中指定的教材正是清华版的教材，而全国考办指定的教材不如省考办指定的教材。质量是生命，我觉得全国考办也应该反思一下。

根据环的定义： 是个交换群。 根据题意θ是幺元， a+θ=a θ+a=a a+a=(a+θ)+(θ+a)

根据交换律与结合律： a+a=(θ+θ)+(a+a)

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晓津看法，上面的证明并没有完成。我觉得题目中的a+a=θ是不是应该改为a+a=a?

b) a.(b+c)=a.b+a.c

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3、在整数环中定义*和o两个二元运算，对任意 a,b?Z 有： a*b=a+b-1

aob=a+b-ab

证明：是一个含幺环。

证明：可以很明显的看出 a*b 满足交换律、封闭性、结合律，故其是一个阿贝尔群

而 aob在Z中满足封闭性、结合律，故其是一个半群。

xo(y*z)=xo(y+z-1)=x+y+z-1-x(y+z-1)=x+y+z-1-xy-xz+x

xoy*xoz=(x+y-xy)*(x+z-xz)=x+y+z-1-xy-xz+x 得:xo(y*z)=(xoy)*(xoz)

同理可得： (x*y)oz=(xoy)*(xoz) 可见： o对于*是可分配的 是一个环

在Z中，aob=a+b-ab 0ob=b bo0=b 可见0是o运算中的幺元。 含有幺元，则 是含幺环。

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4、设R1，R2是环，在R1×R2中定义两个二元运算*和o，对任意,?R1×R2，

*=

o=。

a) 证明 构成一个环； b) 若R1和R2是交换环（或含幺环），则R1R2也是交换环(或含幺环）。

c) 若R1和R2都是整环，R1×R2是整环吗？证明你的结论。

晓津证明如下： a)

因为R1，R2是环，则对于任意a1,a2?R1有

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a1+a2?R1,a1*a2?R1 ，R2同理。所以： (1)

对于任意,?R1×R2 有

*=?R1×R2 并有

*=

再设任意?R1×R2，则显然有

*(*)=(*)* 同时有幺元e=<0,0>,使得： *<0,0>=

对任一元素有逆元<-a1,-b1>存在，使得 *<-a1,-b1>=<0,0>

可见在R1×R2中关于*运算是封闭的、可结合的、可交换的、存在幺元和各元素的逆元，因此它是一个阿贝尔群。 (2)对于任意的,?R1×R2，有 o=?R1×R2 若有?R1×R2，则显然地有：

o(o)=(o)o 可见是一个半群。

(3)对于任意的,,?R1×R2，则 o(*) =o =

可见o对*是可分配的。

因此是一个环。

b)要证明R1×R2是交换环(含幺环)只需在以上证明的基础上证明 可交换或含幺元。 如下：

因为R1，R2是交环，则对于a1,a2?R1及b1,b2?R2，有a1a2=a2a1、b1b2=b2b1, 因此若有任意,?R1×R2 则

o= o=

它们是相等的，即o运算可交换。

同样的，R1有幺元e1,R2有幺元e2,则对于任意?R1×R2，有 o=

即有幺元e=

可见，R1×R2是交换环(或含幺环)

(c)要证其为整环，则还需证明中无零因子。如下： 任取,?R1×R2，且≠<0，0>

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