离散数学复习资料(6)

其不满足 交换律 、满足结合律 、不满足幂等律、无零元、无单位元

晓津补充证明如下：

(1)a*b=pa+qb+r 而b*a=pb+qa+r

当p,q取值不等时，二式不相等。因此*运算不满足交换律。 (2)设a,b,c?R

则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p^2a+pab+pr+qc+r 而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r=pa+qpb+q^2c+qr+r 二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。 (3)a*a=pa+qa+r≠a

所以运算不满足幂等律。

(4)反证法。设有单位元e,则应有

a*e=pa+qe+r=a, e*a=pe+qa+r=a,可知e=(a-pa-r)/q 或e=(a-qa-r)/p 当p,q,r

,a取值不同时，可得不同的e,这与单位元若有时只是唯一的定理相矛盾。 (5)反证法。设有零元O,则应有 a*O=pa+qO+r=O

,O*a=pO+qa+r=O ，同上分析，零元不止一个，因此与零元唯一的定理相矛盾。 ________________________________________ 5、设代数系统,其中

A={a,b,c},*是A上的一个二元关系。对于以下定义所确定的运算，试分别讨论它们的交换性、等幂性，以及在A中关于*是否有幺元，如果有幺元，那么A中的每个元素是否有逆元。

(a) (b)

* a b c * a b c a b

c a b c b c a c a b a b

c a b c b a c c c c (c) (d)

* a b c * a b c a b

c a b c a b c a b c a b

c a b c b b c

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c c b

(a) : 可交换、具有幂等性、有幺元 a 、 c是b的逆元

晓津答案：可交换，但不具有幂等性。幺元e=a,表中有a*a=a,b*c=a,c*b=a,则可得a的逆元是a,b有逆元c,c有逆元b. (b)

: 可交换、不具有幂等性、有幺元 a ,

因为a*a=a,b*b=a,所以a有逆元a,b有逆元b.

(c) :

不可交换、具有幂等性,无幺元。

(d) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a ,a有逆元a. ________________________________________

6、定义I+上两个二元运算为： a*b=a^b

a△b=a.b , a,b?I+,

证明*对△是不可分配的。 证明： 设a,b,c?I+

a*(b△c)=a^(b.c)

(a*b)△(a*c)=(a^b).(a^c)=a^(b+c)

可见：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c) 根据：a*(b△c)≠(a*b)△(a*c) 可知*对△是不可分配的

________________________________________

7、设Zn={0,1,2,...,n-1},*是Zn上的二元运算，使得a*b=a.b/n 的余数。

构造n=4时，运算*的规则表。

并证明对于任意 n?N,*在Zn上是可结合的。 解：

Zn={0,1,2,3}

* 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1

晓津证明如下：

(1)我们先证明n=1时,该运算*在Z1

上的运算是可结合的：此时，设有a,b,c?Z1 则有a=0,b=0,c=0 (a*b)*c=(((a.b)Mod n).c )Mod n=0

a*(b*c)=(a.((b.c)Mod n) )Mod n=0

两式相等，因此当n=1时，*运算是可结合的。

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(2)由上可设

当n=k时，*运算是可结合的。 (3)设n=k+1时，有：

(a*b)*c= (((a.b) Mod (k+1)).c )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1)

a*(b*c)=(a.((b.c)Mod (k+1)) )Mod (k+1)

=(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1)

可见两式是完全相同的结果。因此有当n=k+1时，*运算满足结合律。 所以对于任意n?N,*在Zn上是可结合的。 4.2节习题参考答案

(本章习题答案由jhju提供，晓津补充。旨在抛砖引玉，欢迎发表不同意见:分课论坛) http://jjzk.yeah.net 题号：1 2 3 4 5 6 7 8 9

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1、对于正整数k,Nk={0,1,2,.....,k-1},设*k是Nk上的一个二元运算，使得a*kb为用k除 a.b所得余数，这里a,b?Nk。 a)当k=4时，试造出*k的运算表。

b)对于任意正整数k，证明是一个半群。 解： 解：

Zn={0,1,2,3}

* 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1

(1)我们先证明k=1时,该运算*在Z1 上的运算是可结合的：此时，设有a,b,c?Z1 则有a=0,b=0,c=0 (a*b)*c=(((a.b)Mod k).c )Mod k=0 a*(b*c)=(a.((b.c)Mod k) )Mod k=0

两式相等，因此当k=1时，*运算是可结合的。 (2)由上可设 当k=k时，*运算是可结合的。 (3)设k=k+1时，有：

(a*b)*c= (((a.b) Mod (k+1)).c )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1) a*(b*c)=(a.((b.c)Mod (k+1)) )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1)

可见两式是完全相同的结果。因此有当k=k+1时，*运算满足结合律。 所以对于任意k?K,*在Zk上是可结合的。 由此可知其是个半群。

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2、设是一个半群a?S，在S上定义一个二元运算□，使 得对于S中任意元素x和y，都有x□y=x*a*y

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证明：二元运算□是可结合的。 根据结合律： (x□y)□z=x□(y□z) (x□y)□z=(x*a*y)*a*z

x□(y□z)=x*a*(y*a*z) 由于*满足结合律，故： (x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z) =>

(x□y)□z=x□(y□z)

=> 二元运算□是可结合的

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3、设G={0，1，2，3}， 为模4乘法，即 x,y?G, x y=(xy)mod4。问: 构成什么代数系统？试证明之。

构成一个半群,证明详见第一题，其具有封闭性、结合性。 ________________________________________

4、在R中定义二元运算。 a。b=a+b+ab, a,b?R 。 证明： 是独异点。

(1)、由运算 。可知，a。b?R ，可知其在R上具有封闭性。 （2）、对于任意 a,b,c?R

(a。b)。c=(a+b+ab)。c=a+b+ab+c+ac+bc+abc

a。(b。c)=a。(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc 可见： (a。b)。c=a。(b。c) 即 。

在R上是可结合的。

(3) 因为 [0]。[i]=i ,所以[0]是上一个幺元 根据上述 是独异点

晓津认为题中所给中的O应为o；答案中的(3)幺元是0,而不是[0].

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5、设V=是个半群，若存在 a?S,使得对任意的 x?S,有 u,v?S满足： a*u=v*a=x 。证明 V是独异点。 晓津证明如下：

反证法：若V不是独异点，则V不存在幺元. 而因为x是任意的，则当x=a时，有 a*u=v*a=a

即此时u,v分别是a的右、左幺元。因为在一个系统中若同时存在左右幺元，则二者必相等，因此此时u=v=e。这与假设矛盾，因此由V是一个半群，又V具有幺元，得知V是独异点。

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6、设 V=是半群，OL?S是一个左零元，证明： x?S , x。OL也是一个左零元。

证明： V=是半群,故 。在S上是可结合的

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x。OL=OL。x

根据定义4.1.5可知： OL。x=OL

故x。OL也是一个左零元 晓津不同意见：可结合不等于可交换。在这里应当把(x。OL)看作一个元素，这整个元素是一个左零元。另，题中应为 证明如下：

因为V是半群，所以运算是封闭的,可结合的。 若有x,y,OL?S， 则有x。OL?S

且有(x。OL)。y=x。(OL。y)=x。OL 即x。OL是S中任意y的左零元。

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7、V=,其中 表示模4乘法，找出V的所有子半群，并说明哪些子半群是V的子独异点。 解：子半群如下：

V1=,V2=,V3=,V4=

其中V1,V2,V3 ,V4都是V的子独异点，因为这四个半群中均有幺元e=1。 ________________________________________

8、证明在一个独异点中，左逆元集合，形成子独异点。

证明如下：设为一个独异点，则它有一个幺元.

设在中e是关于*的幺元，若对于任意a?S，存在b?S且b*a=e，则b是a的左逆元。 令左逆元的集合为L，则L S, 所以*在L上是结合的。

对任意的a，b?L,

则必存在x,y?S,使a*x=e，b*y=e; 则(a*b)*(y*x)=a*(b*y)*x=a*e*x=a*x=e;

故a*b是y*x的左逆元， ∴a*b?L

∴*在L上是封闭的 (本段证明由阮允准补充)

即是一个半群。因为e是S中关于*的幺元，所以它同时也是L中关于*的幺元。 因此是一个子独异点。

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9、设 是代数系统，其中 S={a,b,c,}，*定义为：

* a b c a a b c

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