离散数学复习资料(7)

b b a a c c a a

则 是否为半群？是否为独异点？为什么？ 答：从表中看： (b*c)*c=a*c=c b*(c*c)=b*a=b (b*c)*c≠b*(c*c)

故不是半群(本题答案由hybina提供，感谢hybina) 4.3习题参考答案

(本章习题答案由jhju提供，晓津补充。旨在抛砖引玉，欢迎到分课论坛发表不同意见) http://jjzk.yeah.net 题号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

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1、设 为群，任意a,b,c?A, 证明 a*b=a*c，则 b=c。 证明：根据定理

4.3.4，设是一个群，对于a,b?G。必存在惟一的x?G,使 a*x=b 设 a*b=g 因为 a*b=a*c

所以 a*c=g

由于 b在A中是惟一的，而c在A中也是惟一。 所以 b=c

晓津的证明如下：

已知为群，则对于任意a,必逆元a-1和幺元e，则有： a-1*(a*b)=a-1*(a*c)

即有

(a-1*a)*b=(a-1*a)*c e*b=e*c

所以有b=c

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2、设 是独异点，且H中任意x，有x*x=e,其中e为单位元，试证明： 是交换群。 证明：根据定理

4.2.2设是独异点，对于a,b?H,且a,b均有逆元。 那么根据定义4.3.1，可知 是群

交换群就是 *运算满足交换律的情况。 满足交换律就是 a*b=b*a

将 (a*b)*(b*a) 根据结合性可得 a*(b*b)*a=a*e*a=e

将 (b*a)*(a*b) 根据结合性可得 b*(a*a)*b=b*e*b=e 由于有

x*x=e ，而上述两个运算的结果，可知 a*b=b*a 根据定义4.3.4，可知其是一个交换群。

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晓津证法如下：

设有任意a,b?H，e为幺元，则根据已知条件有： a*b=(e*a)*(b*e)

=(b*b*a)*(b*a*a)

=b*((b*a)*(b*a))*a

=b*e*a=b*a

可见a*b=b*a,即是交换群。

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3、设G是整数加群，在G上定义运算*如下： a,b?G,a*b=a+b-2,证明： 是群。 证明：关于此题的疑惑， 假如 a=1 b=1 那么

a*b=0,0不是正整数了。那么就不能满足封闭性了。也有可能是我把题意给理解错了。

晓津观点，整数加群是指在整数集上进行加法运算的一个代数系统。而不仅仅是正整数上进行加运算，0也是包含在这个集合中的，所以满足封闭性。

证明如下：

(1)因为任意a,b?G，即a,b?Z，且a*b=a+b-2,可见a*b?Z，因此是封闭的。 (2)设有任意a,b,c?G，则 (a*b)*c

=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4

a*(b*c) =a+(b+c-2)-2=a+b+c-4=(a*b)*c 可见G上关于* 运算是可结合的。

(3)在中存在幺元e=2 ，验证如下： 对于任意a?G，有a*e=a+2-2=a ，e*a=2+a-2=a

(4)对于任意a?G，存在逆元a-1 =4-a ,验证如下：a*a-1=a+(4-a)-2=2 ;a-1*a=4-a+a-2=2。

因此可证，是群。

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4、设G= { ( 1 0 ) ( 1 0 ) (-1 0 ) (-1 0 ) ( 0 1 ) ( 0 -1) ( 0 1 ) ( 0 -1) } 证明： G关于矩阵乘法构成一个群。 运算表：

矩阵乘法 1 0 0 1 1 0 0 -1 -1 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0

0 1 1 0

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0 1 1 0 0 -1 -1 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 0 -1 1 0 0 -1 1 0 0 1 -1 0 0 -1 -1 0 0 1 -1 0

0 1 -1 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 0 1 1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0 0 -1 1 0 0 1

从运算表中可以看出其具有封闭性 并且其具有单位元 1 0 0 1

如何证明其具有结合性？晓津认为，仍旧可从表上看出。(表中色块表示(a*b)*d=a*(b*d)。*表示矩阵乘法。仅供理解用，证明时不必写出。)

另外可以每个矩阵乘以它本身，就等于其单位元，根据题二的结论

x*x=单位元，则说明是群。晓津观点：最后一步应找到每个元素有其逆元而不是单位元。仍从表上可以找到,每个元素本身就是它的逆元。因此G关于矩阵乘法构成一个群。

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* α β γ δ

α α β γ δ β β α δ α γ γ δ β δ δ δ β β γ

问：是否构成群？为什么？

答：首先其满足封闭性，另外其有单位元 α 、但是其并非对每个元素均存在逆元，故其不构成群。 ________________________________________

6、设A={a,b}，试构造代数系统<(A),U>的运算表，并指出是否存在零元、幺元，并说明<(A)，U>是否构成群？为什

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么？

∪ φ {a} {b} {a,b} φ φ {a} {b} {a,b} {a} {a} {a} {a,b} {a,b} {b} {b} {a,b} {b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b}

另外此题有印刷错误 U 应改为 ∪ 其有单位元 φ ,零元 {a,b}

，除φ外其他元素均无逆元，所以不构成群。

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7、设 G={2m×5n | m,n?I},×:普通乘法，是否构成群？为什么？

对此不解，其没有说明 *是什么运算？所以 是否构成群也是个问题。

晓津的理解：题中的*应为×方合题意。只是这I是指什么集合倒也成问题，我且将它理解成实数吧。这样的话，则G是一个不包含0的实数集，在G上关于×运算是封闭的。 关于普通乘法，很显然它也是可结合的。

在实数集的普通乘法中，有幺元e=1,我们也可以确认，在G中对于m,n?I(现我将其理解为实数)，则必存在m，n使2m×5n=1.因此，是存在幺元的。

同样地，在实数集中的关于乘法的逆元x是x的倒数即x-1,由于G中不包含0，因此对于任一2m×5n有2-m×5-n 为其逆元。

可见构成群。

同学们有更好的理解和证法请不要独享啊。 ________________________________________

8、设 是半群，若存在左幺元，且每个元素均有右逆元，是不是群？为什么？

其是群，因为右逆元存在的条件便是先存在着单位元（参见P80定义4.1.6)，所以 存在幺元。根据定理4.1.4 ，因为是半群，所以其是可结合运算的，根据定理4.1.4，其必有 左逆元=右逆元 ，所以其是一个群。 ________________________________________

9、设G={[1],[2],[3],[4],[5],[6]},G上的二元运算×7 ,如下表所示：

×7 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [3] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [4] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [5] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [6] [6] [5] [4] [3] [2] [1]

问： 是循环群吗？若是，找出它的生成元。

答： 是循环群，生成元是[3], [3]=[3] [2]=[3]2 [6]=[3]3 [4]=[3]4 [5]=[3]5 [1]=[3]6

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故G是六阶循环群。

Littletree同学指出还有一个生成元：[5] 因4=[5]2，6=[5]3,2=[5]4,3=[5]5,1=[5]6

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10、设A={x|x?R∧x≠0,1}，在A上定义6个函数如下： f1(x)=x ,

f2(x)=x-1 ,f3(x)=1-x ,f4(x)=(1-x)-1 ,f5(x)=(x-1)x-1,

f6(x)=x(x-1)-1,令F={fi|i=1,2,....,6},函数的复合o是F上二元运算。

a) 求o的运算表。

b) 验证是一个群。

晓津答案： a)

o f1 f2 f3 f4 f5 f6

f1 x x-1 1-x (1-x)-1 (x-1)x-1 x(x-1)-1 f2 x-1 x (x-1)x-1 x(x-1)-1 1-x (1-x)-1 f3 1-x (1-x)-1 x x-1 x(x-1)-1 (x-1)x-1 f4 (1-x)-1 1-x x(x-1)-1 (x-1)x-1 x x-1 f5 (x-1)x-1 x(x-1)-1 x-1 x (1-x)-1 1-x f6 x(x-1)-1 (x-1)x-1 (1-x)-1 1-x x-1 x

b)(画完上面表格，真是头都大了)，我们可以看到，表中的所有元都在F内，因此运算是封闭的。有幺元e=f1,对于每个fi?F，都有逆元存在。因此运算是一个群。 ________________________________________

11、设G={a,b,c},在G上定义二元运算。如下表所示：

o a b c a a b c b b c a c c a b

a) 验证 为群；

b) 是否为循环群，如果是，找出它的生成元。 解： a)

从运算表中可以看 其具有封闭性。有幺元 a ，对于 b 有逆元 c ，对于 c有逆元 b 。同时可看出其具有结合性，如(a。b)。c=a。(b。c)=a

b) 其是循环群， b=b c=b2 a=b3 b是生成元。还有 c=c b=c2 a=c3 所以c也是生成元

________________________________________ 12、设是群的子群， N={x|x?G,xHx-1=H}。 证明：

是的一个子群。

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