离散数学复习资料

3.1 习题参考答案

1、写出下列集合的的表示式。

a)所有一元一次方程的解组成的集合。

A={x|x是所有一元一次方程的解组成的集合} 晓津答案：A={x| ax+b=0∧a?R∧b?R} b) x2-1 在实数域中的因式集。 B={1,(x-1),(x+1)|x?R}

c)直角坐标系中，单位圆内（不包括单位圆周）的点集。 C={x,y| x2+y2<1 }

晓津答案：C={a(x,y)|a为直角坐标系中一点且 x2+y2<1 }

d)极坐标中，单位圆外（不包括单位圆周）的点集。 D={r,θ| r>1,0<=θ<=360}

晓津答案：D={a(r,θ)|a为极坐标系中一点且 r>1,0<=θ<=2π } e)能被5整除的整数集 E={ x| x mod 5=0}

2、判定下列各题的正确与错误。 a) {x} {x}; 正确

b) {x}?{x}; 正确

晓津观点:本命题错误。理由：{x}作为一个元素是一个集合，而右边集合中的元素并不是集合。 c) {x}?{x,{x}}; 正确

d) {x} {x,{x}};

正确

3、设 A={1,2,4},B={1,3,{2}},指出下列各式是否成立。 a) {2}?A; b) {2}?B c) {2} A d) {2} B; e) ?A f) A 解：jhju、晓津和wwbnb

的答案经过综合补充，本题的正确答案是：b、c、d、f成立，a，d、e不成立。

理由：a式中，{2}是一个集合，而在A中并无这样的元素。因此不能说{2}属于A，当然如果说2?A则是正确的。对于e式也应作如此理解，空集是一个集合，在A中并无这个集合元素,如f式则是正确的。空集包含于任何集合中，但空集不一定属于任一集合。 4、设A= { } ，

B= (A),问下列各题是否正确。 a) ?B, B 正确

b) { }?B,{ } B 正确

c) {{ }}?B,{{ }} B 正确

5、设A={a,{a}},问下列各题是否正确。 a) {a}? (A),{a} (A); 正确

晓津答案：本命题不正确。 (A)={ ，{a},{{a}},{a,{a}}},在这个集合中，并无a这个元素，因此命题的后半个{a} (A)是

1

不成立的。

b) {{a}}? (A),{{a}} (A); 正确

c) 设A={a,{b}},a),b) 是否正确。 a 和 b都正确

晓津答案：如此则a),b)均不正确。此时, (A)={ ，{a},{{b}},{a,{b}}}。除了a式的前半句正确，其他的都不成立，因此a),b)式均不成立。

6、设某集合有101个元素，试问： a) 可构成多少个子集； 2n个元素 (子集吧)

b) 其中有多少个子集元素为奇数； 其中有 2n-1 个子集元素为奇数

晓津不同意见：我认为这个答案不成立,如集合有3个元素，则它的幂集中有5个子集中元素个数为奇数，而不是7个。可是我也还没找到这个式子。 sphinx提供的答案是2100

，可通过多项式分解找到规律，空集不算。 晓津想，应该算上，若算上则是2n-1+1 c) 是否有102个元素的子集。 无

3.2习题答案

1、给定自然数集合N的下列子集：

A={1,2,7,8} B={i|i^2<50}={0,1,2,3,4,5,6,7}

C={i|i可被3整除 0?i?30}, ={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} D={i|i=2^K,K?Z+,1?K?6}={2,4,8,16,32,64} 求下列各集合。 a) A∪(B∪(C∪D));

={2,4,8,16,32,64,0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,1,5,7} b) A∩(B∩(C∩D)); =A∩(B∩ }= c) B-(A∪C);

=B-{0,1,2,7,8,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} ={4,5}

d) (～A∩B)∪D

={8}∪D={2,4,8,16,32,64}

晓津补充:这里的(～A∩B)应当等于(B-A)而不是(A-B), 所以最终的答案是：{0,3,4,5,6}∪D={0,2,3,4,5,6,8,16,32,64} 2、a)如果对于一切集合，有X∪Y=X，则Y=φ 证明： X∪Y={i|i?X∨i?Y}=X {i|i?X∨i?Y}=X

{i|i?X∨i?Y}={i|i?X} 由此可见：Y=φ 晓津的证明：

必要性：设Y≠φ 则Y中必有一个以上元素。若有一个元素y,y?Y∧y X 则有X∪Y≠X 这与前提矛盾。 充分性： 若Y=φ

则任合集合X∪Y=X成立。

2

本题要注意Y有时包含于X的，若用命题表达式论证，应用到量词。 b)证明对所有集合A，B和C，有：(A∩B)∪C=A∩(B∪C); iffC A。 (A∩B)∪C={i|(i?A∧i?B)∨i?C} A∩(B∪C)={i|i?A∧(i?B∨i?C)}

(i?A∧i?B)∨i?C = i?A∧(i?B∨i?C) 因为 iffC A

所以 i?A∨i?C=i?A

得证：(A∩B)∪C=A∩(B∪C)

晓津证明：本题也要进行双向的证明，一个是必要性，一个是充分性，这才能得出当需的结论。 证：充分性： 若C A

则(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)=A∩(B∪C)=右边。 必要性：

假设C不包含于A内，则C中必有一个以上元素x A，则A∪C≠A可得 (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)≠A∩(B∪C)

假设与前提矛盾，因此假设不成立，C应当包含于A内。 3、证明对任意集合A，B，C，有： a) (A-B)-C=A-(B∪C);

证明： (A-B)-C={x| x?A∧x B}-C ={x| x?A∧x B∧x C} ={x|

x?A∧x?～B∧x?～C}

={x| x?A∧x?(～B∩～C)} ={x| x?A∧x?～(B∪C)} =A-(B∪C)

我想，本题也可以直接应用集合运算来做。 b) (A-B)-C=(A-C)-B;

(A-B)-C={x| x?((A-B)-C)} ={x| x?A∧x B∧x C}

={x| x?(A-C)∧x B}

=(A-C)-B c) (A-B)-C=(A-C)-(B-C)

(A-B)-C={x| x?((A-B)-C)} ={x| x?A∧x B∧x C}

={x| x?A∧x B∧x B∧x C} ={x| x?(A-B)∧x B∧x C}

={x| x?(A-B)∧x?～B∧x?～C} ={x| x?(A-B)∧x?(～B∩～C)} ={x|

x?(A-B)∧x?～(B∪C)} ={x| x?(A-B)∧x (B∪C)}

(A-C)-(B∪C) (题目是否有误？) 晓津证明：(题目并无误) 右边=(A-C)-(B-C)

=(A∩～C)∩～(B∩～C) =(A∩～C)∩(～B∪C)

=(A∩～C∩～B)∪(A∩～C∩C)

3

=((A∩～B)∩～C)∪Φ =(A-B)-C

=左边

4、设A，B，C是全集E的任意子集。

a)若 A∩B=A∩C,～A∩B=～A∩C,证明：B=C 晓津证明此题如下:

证明：由 A∩B=A∩C,～A∩B=～A∩C得 (A∩B)∩(～A∩B)=(A∩C)∩(～A∩C) (A∩B)∪(~A∩B)=(A∩C)∪(~A∩C) B∩(A∪~A)=A(C∪~C) 即B∩E=C∩E

因B，C是全集E的任意子集 B=C

b)若 (A∩C) (B∩C),(A∩～C) (B∩～C),证明：A B 由(A∩C) (B∩C),(A∩～C) (B∩～C) 得： (A∩C)∪(A∩～C) (B∩C)∪(B∩～C) A∩(C∪～C) B∩(C∪～C) A∩E B∩E

A，B，C是全集E的任意子集 A B

5、设 A={φ},B= ( (A)),问下列各题是否正确？ a) φ?B φ B 正确

b) {φ}?B {φ} B 正确

c) {{φ}}?B {{φ}} B 正确

本题由kavana补充： (A)={φ,{φ}} B= ( (A))={φ,{φ},{{φ}},{φ,{φ}}} 。 感谢kavana！6、在下面各题中，如果命题为真，请给证明；如果命题为假，则给出反例； a)、 A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) 晓津证明如下：

A∩(B-C)={x|x?A∧(x?B∧x?～C)} ={x|x?A∧x?B∧(x?A∧x C)}

={x|x?A∧x?B∧(x?A∧x (A∩C))} ={x|x?A∧x?B∧x (A∩C)} =(A∩B)-(A∩C)

b)、 (A-B)∩(B-A)=φ

(A-B)∩(B-A)={x| x?A x B x A x?B}=φ 也可以用集合运算证明： 原式=(A∩～B)∩(B∩～A) =(A∩～A)∩(B∩～B)=Φ c)、 A-(B∪C)=(A-B)∪C 不成立

补充实例如下：设A={1,2,3,4} B={1,5} C={2,6}

则 A-(B∪C)={3,4} 而 (A-B)∪C={2,3,4,6} d)、 ～(A-B)=～(B-A)

4

不成立

补充实例：设E={1,2,3,4,5} A={1,2} B={1,3,4}

则 ～(A-B)={1,3,4,5} 而 ～(B-A)={1,2,5} e) ～(A∩B) A 不成立

补充实例如下:设E={1,2,3} A={1,2} B={2,3} 则 ～(A∩B)={1,3} 它不包含于A内。 f) (A∩B)∪(B-A)=A 不成立

补充实例如下： A={1,2} B={1,2,3,4}

则(A∩B)∪(B-A)={1,2,3,4 }≠A

7、设A，B，C是任意集，证明： a) (A∪B)-C=(A-C)∪(B-C)

证明：(A∪B)-C={x| (x?A∨x?B)∧x C}

={x|(x?A∧x C)∨(x?A∧x C)}

=(A-C)∪(B-C) b) A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)

证明:A-(B∪C)={x| x?A∧x (B∪C)} ={x| x?A∧(x B∧x C)}

={x| x?A∧x B∧x?A∧x C)} =(A-B)∩(A-C)

c)、(A-B)∪(A-C)=A,当需 A∩(B∩C)=φ时成立。 证明:(A-B)∪(A-C)

={x| (x?A∧x B)∨(x?A∧x C)} ={x| x?A∧(x B∨x C)} ={x| x?A∧x (B∪C)}

我怎么觉得：A∩(B∪C)=φ时，(A-B)∪(A-C)=A 题目是否出错了？

晓津认为：红色的∪其实应为∩，x B或x C 应用德摩根律，就是说x (B∩C). 以上证明并未证得结论。 现证明如下：

充分性：若A∩(B∩C)=φ

则前提的左边=(A∩～B)∪(A∩～C)=A∩(～B∪～C) =A∩～(B∩C)=A-(B∩C) =A-(B∩C)=A-(A∩(B∩C)) =A-Φ =A=右边 可得等式成立

必要性：若设A∩(B∩C)≠φ则由上面证明可知 A-(B∩C)≠A。 即前提左边≠A

左右不等，因此假设违反题意，不成立。所以必需A∩(B∩C)=φ 8、证明：

a)、 A∩(B C)=(A∩B) (A∩C)

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