圆锥曲线范围最值与图形存在(5)

?x22?2?y?1得(1?a2b2)x2?2a2k2x?a2k2?a2?0 由?a?y?k(x?a)?a4k2?a2设点T(xT,yT),则有xT?(?a)?.

1?a2k2a?a2k22aka?a2k22ak故xT?,从而y?k(x?a)?亦即T(?). TTa?a2k21?a2k21?a2k21?a2k2yT1B(a,0),?kBT???2,故kSM?a2k

xT?aak?x?a由?得S(a,2ak),所直线SM的方程为y?2ak?a2k(x?a) ?y?k(x?a)O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即2ak?a2k(?a). a?0,K?0,?a?2 故存在a?2,使得O,M,S三点共线.

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?1. 3(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

（I）解：因为点B与A(?1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,?1). 设点P的坐标为(x,y) 由题意得

y?1y?11??

x?1x?1322 化简得 x?3y?4(x??1).

故动点P的轨迹方程为x?3y?4(x??1)

（II）解法一：设点P的坐标为(x0,y0)，点M，N得坐标分别为(3,yM),(3,yN). 则直线AP的方程为y?1?22y0?1y?1(x?1)，(x?1) 直线BP的方程为y?1?0x0?1x0?1 21

令x?3得yM?4y0?x0?32y0?x0?3，yN?.

x0?1x0?1于是PMN得面积

|x0?y0|(?3x02)1 SPMN?|yM ?yN|(?30x?)2|x02?1|又直线AB的方程为x?y?0，|AB|?22， 点P到直线AB的距离d?于是PAB的面积 S当SPAB|x0?y0|2.

?1|AB|d?|x0?y0| 2PAB|x0?y0|(3?x0)2 ?SPMN时，得|x0?y0|?2|x0?1|又|x0?y0|?0，

所以(3?x0)2=|x02?1|，解得|x0?因为x02?3y02?4，所以y0??5。 333 95333). 9故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为(,?解法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0)

11|PA||PB|sin?APB?|PM||PN|sin?MPN. 22 因为sin?APB?sin?MPN,

则 所以

|PA||PN|?

|PM||PB| 所以

|x0?1||3?x0|?

|3?x0||x?1|5 322 即 (3?x0)?|x0?1|，解得x0?22 因为x0?3y0?4，所以y0??33 9 22

故存在点PS使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为

533(,?). 39(2013·深圳质检)已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，→·EB→的最小值．

B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD

【思路点拨】 (1)利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l1的斜率为k，依题设条→·EB→关于k的解析式，利用均值不等式求最值．

件可求出AD

【尝试解答】 (1)设动点P的坐标为(x，y)， 由题意得（x－1）2＋y2－|x|＝1，

化简得y2＝2x＋2|x|.

当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0.

所以点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x＜0)．

(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．

?y＝k（x－1），由?2得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. ?y＝4x，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，

4

于是x1＋x2＝2＋k2，x1x2＝1.

1

因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－k. 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，

则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. →·EB→＝(AF→＋FD→)·→＋FB→) AD(EF

→·EF→＋AF→·FB→＋FD→·EF→＋FD→·FB→ ＝AF

→·FB→＋FD→·EF→＝|AF→|·|FB→|＋|FD→|·|EF→| ＝AF

＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)

＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1

4

＝1＋(2＋k2)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1

11

＝8＋4(k2＋k2)≥8＋4×2 k2·k2＝16.

23

1→→

故当且仅当k2＝k2即k＝±1时，AD·EB取最小值

24

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