圆锥曲线范围最值与图形存在(2)

x0x?y0y?b2．………………………………………………………………8分

方法3：设A?x1,y1?,B?x2,y2?，已知点P?x0,y0?， 则kPA?因

y0?y1y，kOA?1?其中x1?x0,x1?0?．

x0?x1x1P?A，

所

以

为

kPAkOA??1，即

y0?y1y1???1．…………………………………………5分

x0?x1x1整理得x0x1?y0y1?x12?y12．

因为x?y?b，所以x0x1?y0y1?b．……6分 这说明点A在直线x0x?y0y?b2上． …………7分 同理点B也在直线x0x?y0y?b2上．

所以x0x?y0y?b2就是直线AB的方程． ……8分 （3）由（2）知，直线AB的方程为x0x?y0y?b2，

所以点O到直线AB的距离为d?A 212122y P O B x b2x0?y022．

2bx02?y02?b2b4?因为AB?2OA?d?2b?2， 222x0?y0x0?y0222b1所以三角形OAB的面积S??AB?d?23x02?y02?b2．………………10分

x02?y02以下给出求三角形OAB的面积S的三种方法：

x2y2方法1：因为点P?x0,y0?在双曲线2?2?1上，

ab2x02y02b2x0?a2b2222x?a所以2?2?1，即y0?． ??02aba?b2?2222设t?x0?y0?b??1?2?x0?2b?a?b，

?a?222b3t所以S?2．………………………………………………………11分 2t?b因为S???b3?t?b??t?b??t2?b22?，

6

所以当0?t?b时，S??0，当t?b时，S??0．

b3t所以S?2在?0,b?上单调递增，在?b,???上单调递减．………………12分 2t?b当a?b?b，即b?a?222b时，S最大值b3?b12?2?b，………………13分 2b?b2b3?a2?b2b3a2?b2． ?22a222a?b?b当a?b?b，即a?222b时，S最大值???综上可知，当b?a?212时，S最大值?b；当a?2b时，b2S最大值?

b32a?a2b2．………14分

x2y26.如图,点P(0,?1)是椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的一个顶点,C1的长轴是圆

abC2:x2?y2?4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于两点

A,B,l2交椭圆C1于另一点D

(1)求椭圆C1的方程; (2)求?ABD面积取最大值时直线l1的方程.

y l1 D O P A （第21题图）

l2 B x

x2?y2?1; 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到b?1,且2a?4?a?2,所以椭圆的方程是4

7

(Ⅱ)因为直线l1?l2,且都过点P(0,?1),所以设直线l1:y?kx?1?kx?y?1?0,直线

l2:?y1?kx1??x?ky,0?所k?以圆心(0,到直线

l1:?yk?1x?k?x1的距离为?y0?d?23?4k21?k211?k2,所以直线l1被圆x2?y2?4所截的弦AB?24?d

2?;

?x?ky?k?0?222由?x2?kx?4x?8kx?0,所以

2??y?1?48k164k28k2?1xD?xP??2?|DP|?(1?2)2?2,所以

k?4k(k?4)2k?4S?ABD

1123?4k28k2?184k2?34?84k2?3?|AB||DP|???2?? 22222k?4k?44k?3?131?k 8

?324k2?34k2?3?134k2?3134k2?3?324k2?3?134k2?3?32213?1613, 13当

4k2?3??k2?510?k??时等号成立,此时直线22l1:y??

10x?1 27.已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为

32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. 2(Ⅰ) 求抛物线C的方程;

(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.

2【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x?4cy,由0?c?22?32结合c?0,2解得c?1.

所以抛物线C的方程为x?4y.

2(Ⅱ) 抛物线C的方程为x?4y,即y?2121x,求导得y??x 42 9

设A?x1,y1?,B?x2,y2?x12x22,y2?(其中y1?),则切线PA,PB的斜率分别为4411x1,x2,

22x1x1x12x??y1,即所以切线PA的方程为y?y1??x?x1?,即y?222x1x?2y?2y1?0

同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0

因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1

?x0x?2y?2y0?0222联立方程?2,消去x整理得y??2y0?x0?y?y0?0

?x?4y由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x02?2y0,y1y2?y02 所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y0?x0?2y0?1

22又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,

1?9?所以y0?x0?2y0?1?2y0?2y0?5?2?y0???

2?2?2222所以当y0??

19时, AF?BF取得最小值,且最小值为. 2210

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