圆锥曲线范围最值与图形存在(3)

x2y28.平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:2?2?1(a?b?0)的右焦点F作直x?y?3?0交

abM于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为

(Ⅰ)求M的方程;

(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ABCD的对角线CD?AB,求四边形ABCD面积的最大值.

1. 2 11

9.设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求圆C的圆心轨迹L的方程；

3545

(2)已知点M(5，5)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．

12

【解】 (1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.

圆(x＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2， 圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2. ?|CF1|＝r＋2?|CF1|＝r－2，

由题意得?或?

?|CF|＝r－2?|CF|＝r＋2，∴||CF1|－|CF||＝4. ∵|F1F|＝25＞4，

∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x22

4－y＝1.

(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，

∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝

35452

（5－5）＋（5－0）2＝2.

直线MF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得 ?y＝－2x＋25，?

?x22 －y＝1，??4

整理得15x2－325x＋84＝0. 14565解得x1＝15(舍去)，x2＝5. 此时y＝

－255.

6525

∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为(5，－5)．

13

y2x210．已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的

ab弦长为1．

（I）求椭圆C1的方程；

（II）设点P在抛物线C2：y?x2?h(h?R)上，当C2在点P处的切线与C1交于点M,N．线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．

?b?12a?2?y?解析：（I）由题意得?b2,??,所求的椭圆方程为?x2?1，

4?2??1?b?1?a21世纪教育网（II）不妨设M(xt2,?t1,y1),N(x2,y2),P(则h),抛物线C2在点P处的切线斜率为

y?x?t?2t，直线MN的方程为y?2tx?t2?h，将上式代入椭圆C1的方程中，得

4x2?(2tx?t2?h)2?4?0，即4?1?t2?x2?4t(t2?h)x?(t2?h)2?4?0，因为直线

422MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有?1?16???t?2(h?2)t?h?4???0，

x1?x2t(t2?h)设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3?， ?222(1?t)21世纪教育网设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4?2t?12，由题意得x3?x4，即有t?(1?h)t?1?0，2其中的?2?(1?h)?4?0,?h?1或h??3；

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422当h??3时有h?2?0,4?h2?0，因此不等式?1?16???t?2(h?2)t?h?4???0不

成立；因此h?1，当h?1时代入方程t2?(1?h)t?1?0得t??1，将h?1,t??1代入不

422等式?1?16???t?2(h?2)t?h?4???0成立，因此h的最小值为1．

x2y211．已知直线x?2y?2?0经过椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左顶点A和上顶点D，

ab21世纪教育网椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线l:x?分别交于M,N两点。

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；

（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得?TSB的面积为若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由

解法一：

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