圆锥曲线范围最值与图形存在(4)

（I）由已知得，椭圆C的左顶点为A(?2,0),上顶点为D(0,1),?a?2,b?1

x2?y2?1 故椭圆C的方程为4（Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且k?0，故可设直线AS的方程为y?k(x?2)，从而

M(103,16k3) ?y?k(x?由?2)?x2得(1?4k2)x2?16k2x?16k2???4?y2?14?0

设S(x16k2?42?4k1,y1),则(?2),x1?1?4k2得x1?8k21?4k2，从而y1?1?4k2即S(2?8k21?4k2,4k1?4k2),又B(2,0) ?由??y??1(x?2)??10?4k得?x???3

??x?103???y??13k?N(1013,?3k)

故|MN|?16k13?3k 又k?0,?|MN|?16k116k183?3k?23?3k?3 当且仅当

16k3?13k，即k?14时等号成立

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?k?184时，线段MN的长度取最小值3

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（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN取最小值时，k?1 4 此时BS的方程为x?y?2?0,s(,),?|BS|?645542 51，只须T到直线BS的距离等于5 要使椭圆C上存在点T，使得?TSB的面积等于

22，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l上。 44设直线l':x?y?1?0

则由

35|t?2|2?,解得t??或t??

2242m2x2?0，椭圆C:2?y2?1，F1,F2分别为椭圆C的左、12．已知m＞1，直线l:x?my?2m右焦点.

（1）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A,B两点，VAF1F2，VBF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

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（Ⅰ）解：因为直线l:x?my?m22?0经过F2m222(m?1,0)，所以m?1?2,得m2?2，

又因为m?1，所以m?2，

2故直线l的方程为x?2y?22?0。

（Ⅱ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)。

?? 由?x?my?m2?22，消去x得

?x??m2?y2?12y2?my?m24?1?0

则由??m2?8(m2?1)??m24?8?0，知m2?8，

mm2且有y1?y2??2,y1y2?8?12。 由于F1(?c,0),F2(c,0),， 故O为F1F2的中点， 由AG?2GO,BH?2HO， 可知G(x1y3,13),h(x2y3,13),

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(x1?x2)2(y1?y2)2GH??

992设M是GH的中点，则M(由题意可知2MO?GH,

x1?x2y1?y2,)， 66x1?x22y1?y22(x1?x2)2(y1?y2)2)?()]??即4[( 6699即x1x2?y1y2?0

m2m2)(my2?)?y1y2 而x1x2?y1y2?(my1?22m21）(?) ?(m?1822m21??0 所以

82即m?4

又因为m?1且??0 所以1?m?2。

所以m的取值范围是(1,2)。

2x2已知A,B 分别为曲线C： 2+y2=1（y?0,a>0）与x轴

a的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标；

（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。

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解法一：

(Ⅰ)当曲线C为半圆时，a?1,如图，由点T为圆弧AB的三等分点得∠BOT=60°或120°. (1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°. 又AB=2,故在△SAE中,有SB?AB?tan30??????,?s(t,); ??23)或S(1,23) 3 (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为(1,23),综上, S(1,(Ⅱ)假设存在a(a?0),使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SB为直线的圆上,故BT?OS.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为y?k(x?a). ?x22?2?y?1得(1?a2k2)x2?2a2k2x?a4k2?a2?0 由?a?y?k(x?a)?a2k2?a2设点T(xT,yT),?xT?(?a)?, 221?ak2aka?a2k2故xT?,从而. y?k(x?a)?TT1?a2k21?a2k2a?a2k22ak亦即T(,).

1?a2k21?a2k2?2a2k22akB(a,0),?BT?((,)) 22221?ak1?ak?x?a由?得s(a,2ak),?OS?(a,2ak).

y?k(x?a)??2a2k2?4a2k2由BT?OS,可得BT?OS??0即?2a2k2?4a2k2?0 21?ak2k?0,a?0,?a?2

经检验,当a?2时,O,M,S三点共线. 故存在a?2,使得O,M,S三点共线. 解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故SM?BT.

显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为y?k(x?a)

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