圆锥曲线的范围问题
x221.设P是椭圆2?y?1(a?1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的动点，求|PQ|的最大值．
a
2.设F1,F2分别是椭圆的左右焦点,若是P椭圆上的一个动点，求|PF1||PF2|的最大值和最小值．
3.在平面直角坐标系中，已知点F(2,2)及直线l:x?y?2?0，曲线C1是满足下列两个条件的动点P(x,y)的轨迹：①PF?2d,其中d是P到直线l的距离；
?x?0?.②?y?0?2x?2y?5?
(1) 求曲线C1的方程;
x2y2(2) 若存在直线m与曲线C1、椭圆C2:2?2?1(a?b?0)均相切于同一点，求椭圆C2ab离心率e的取值范围.
一、利用题设中已有的不等关系建立不等式
2．过点B(0,1)的直线l1交直线x?2于P(2,y0)，过点B?(0,?1)的直线l2交
x0?y0?1，l1?l2?M. 2（1）求动点M的轨迹C的方程；
(2)设直线l与C相交于不同的两点S、T，已知点S的坐标为(－2,0)，
x轴于P?(x0,0)点，
点Q(0，m)在线段ST的垂直平分线上，且QS?QT≤4，求实数m的取值范围.
1
解 (1)由题意，直线l1的方程是y??1?y0xx?1，∵0?y0?1，∴l1的方程是22x0x?1 4若直线l2与y轴重合，则M(0,1)，若直线l2不与y重合，可求得直线l2的方程是y??x21?y2?1，因l1不经过(0,?1)，故动点动M的y?x?1，与l1的方程联立消去x0得4x0x2?y2?1轨迹C的方程是（y??1)…………6分[ 4（k??)于是S、T两点的坐标满足方程(2)设T(x1，y1)，直线l的方程为y＝k(x＋2)
12y?k(x?2)??2组?x 由方程消去y并整理得(1＋4k)x＋16kx＋16k－4＝0由－2x＝2?y?1??42
2
2
2
1
4k16k2?42?8k28k2得x1＝，从而y1＝设线段ST的中点为N，则N(?，22221?4k1?4k1?4k1?4k2k)…………8分[来源:学科网]
1?4k2以下分两种情况：①当k＝0时，点T的坐标为(2,0)，线段ST的垂直平分线为y轴，
于是QS?(?2,?m),QT?(2,?m)，由QS?QT≤4得：－22≤m≤22.
2k18k2②当k≠0时，线段ST的垂直平分线方程为y－＝－(x＋)令x＝0， 22k1?4k1?4k136kk??m?得m＝?∵，∴，
221?4k26k4k6k-（22?8k2）由QS?QT＝－2x1－m(y1－m)＝＋ (＋)＝22221?4k1?4k1?4k1?4k4(16k4?15k2?1)≤4 22(1?4k)66k1414
?解得－≤k≤且k≠0 ∴m＝?＝………………11分
7711?4k2?4kk114
∴当－≤k<0时，?4k≤－4
7k11433
当0 722k33 综上所述，－≤m<，且m≠0.…13分 22 二、根据圆锥曲线自身范围建立不等式 2 3. 已知抛物线y2?2x，P是抛物线的动弦AB的中点，直线AB的斜率为1，求线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围。 解： x2y2?1(a?0)的左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，满足4.设椭圆C:2?2a1AF2?F1F2，且坐标原点O到直线AF1的距离为|OF1|． 3（1）求椭圆C的方程； （2）椭圆C上一动点P?x0,y0?关于直线y?2x的对称点为P1?x1,y1?,求3x1?4y1的取值范围. 三、利用判别式建立不等式 3．在抛物线y2?4x上恒有两点关于直线y?kx?3对称，求k的取值范围． 答：（-1,0） 四、利用代数基本不等式或几何不等关式建立不等式 24.已知抛物线x?4y的焦点为F，A,B是抛物线上的两动点，且AF??FB(??0)， 过A,B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M (1) 证明：FM?AB为定值； (2) 设?ABM的面积为S，写出S?f(?)的表达式，并求S的最小值． 3 x2y25. 已知双曲线C：2?2?1?a?b?0?和圆O：x2?y2?b2（其中原点O为圆心）， ab过双曲线C上一点P?x0,y0?引圆O的两条切线，切点分别为A、B． （1）若双曲线C上存在点P，使得?APB?90，求双曲线离心率e的取值范围； （2）求直线AB的方程； （3）求三角形OAB面积的最大值． 解 ：（ 1 ） 因 2y A P O B x 为 a?b?0，所以 b?1a，所以 ca2?b2?b?e???1????2．…………………1分 aa?a?由?APB?90及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以OP?2b． 因 为 O?P2?2b，所a以 b2?a2，所以 ca2?b26?b?e???1????．……………3分 aaa2??故 双曲线离心率 4 e的取值范围为 ?6?,2．…………………………………………………………4分 ????2?（2）方法1：因为PA2?OP2?OA2?x02?y02?b2， 所以以点 P2为圆心， PA为半径的圆P的方程为 ?x?x0?2??y?y0??x02?y02?b2．………5分 两圆的公共弦所在的直线即为直线 因为圆O与圆PAB，……………………………………………6分 所 以 联 立 方 程 组 222??x?y?b,………………………………………………7分 ?22222???x?x0???y?y0??x0?y0?b.消去 x2， y2，即得直线 AB的方程为 x0x?y0y?b2．………………………………………………8分 方法2：设A?x1,y1?B?x2,y2?，已知点P?x0,y0?， 则kPA?因 y0?y1y，kOA?1?其中x1?x0,x1?0?． x0?x1x1P?A， 所 以 为 kPAkOA??1，即 y0?y1y1???1．…………………………………………5分 x0?x1x1整理得x0x1?y0y1?x12?y12． 因 为 x12?y1?b，所以 x0?6分 ?x2y0y1b1．…………………………………………………………… 因为OA?OB，PA?PB，根据平面几何知识可知，AB?OP． 因 为 kOP?y0x0，所以 kAB??x0．………………………………………………………………………7分 y0x0?x?x1?． y0所以直线AB方程为y?y1??即x0x?y0y?x0x1?y0y1． 所 以 直 线 AB的方程为 5 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库圆锥曲线范围最值与图形存在在线全文阅读。
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