空间向量在立体几何中的应用(7)

?D是AB中点，

∴DE//AC ，又AC?平面BB1C1C ∴DE?平面BB1C1C，

又?EF?平面BB1C1C，BC1?平面BB1C1C ∴DE?EF

∴B1C?DE 又?DF?B1C且DE?DF?D

∴B1C?平面DEF，EF?平面DEF ………8分 ∴B1C?EF 又?DF?B1C

C1B1A1FCDAEB∴?EFD是二面角D?B1C?B的平面角 ……………………………………10分

?AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

∴在?DEF中，DE?EF，DE?3，EF?2 23DE32∴tan?EFD? …………………………………………13分 ?2?EF42∴二面角D?B1C?B的正切值为

32 …………………………………………14分 4解法二：以CA、CB、CC1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分

?AC＝3，BC＝4，AA1＝4，

4，4)， ∴A(3，0) C(0，0，0)，D(，2，0)，B1(0，0，0)，B(0，4，z????3∴CD?(，2，0)，

2????CB1?(0，4，4)

32C1A1B1CDAxBy??0，0)， …………………8分 平面CBB1C1的法向量n1?(1，???设平面DB1C的法向量n2?(x0，y0，z0)，

?????则n1，n2的夹角（或其补角）的大小就是二面角D?CB1?B的大小 …………9分

????????3??n2?CD?0?x0?2y0?0??2则由??? 令x0?4，则y0??3，z0?3 ??????n2?CB1?0?4y?4z?0?0?0???∴ n2?(4,?3,3) ………………12分

???????????????n1?n2432??cos?n1，n2??????，则tan?n1， ……………13分 n2??4|n1|?|n2|34∵二面角D?B1C?B是锐二面角

31

∴二面角D?B1C?B的正切值为32 ………………………… 14分 4【例5】如图，已知?BCD中，?BCD?90?，BC?CD?1，AB⊥平面BCD，?ADB?60?，E、

AEAF???(0???1)． ACAD（1）求证：不论?为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（2）若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60?，求?的值。 F分别是AC、AD上的动点，且

【解析】：过点C作Cz//AB ∵AB⊥平面BCD ∴Cz⊥平面BCD

又在?BCD中，?BCD?90? ∴BC?CD

如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C?xyz． 又在?BCD中，?BCD?90?， BC?CD?1 ∴BD?2

又在Rt?ABD中，?ADB?60? ∴AB?6

则C(0,0,0),B(1,0,0),A(1,0,6),D(0,1,0) （1） 证明：

∵C(0,0,0),B(1,0,0),A(1,0,6),D(0,1,0) ∴BA?(0,0,6),CB?(1,0,0),CD?(0,1,0) ∴BA?CD?0,CB?CD?0 ∴BA?CD,CB?CD 又AB?BC?B

∴CD⊥平面ABC

又在?ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，

且

AEAC?AFAD??(0???1) ∴不论?为何值，都有EF//CD ∴EF⊥平面ABC 又EF?平面BEF

不论?为何值，总有平面BEF⊥平面ABC

（2）∵

AEAC??，∴,

32

z A E M C F B N D x y

∵AC?(?1,0,?6)，∴AE??AC???,0,?6?，

又∵AB?0,0,?6，?BE?AE?AB???,0,6(1??) ， 设n?(x,y,z)是平面BEF的法向量，则n?BE,n?EF 又EF//CD，?n?CD,∵CD=(0,1,0),

???x?6(1??)z?0∴?

y?0???????令z??得x?6(1??),y?0 ∴n?(6(1??),0,?)，

∵ m?(0,0,1)是平面BCD的法向量，平面BEF与平面BCD所成的二面角为60?， ∴cos60??n?m|n||m|?1??1?6(1??)2??2?1 2

∴?2?4??2?0，

∴??2?2或??2?2（不合题意，舍去），

故当平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60?时??2?2．

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