空间向量在立体几何中的应用(2)

B0, 2, 0，C?2, 0, 0，D0, ?2, 0．

??????????????所以AC??22, 0, 0，BD?0, ?22, 0．

????设CE?a（0?a?2），由已知可求得?ECO?45?．

????2222所以E(?2?a, 0, a)，BE?(?2?a, ?2, a)．

2222设平面BDE法向量为n?(x, y, z)，

?????y?0, ?n?BD?0,??则???? 即? ?22a)x?2y?az?0.??(?2??n?BE?0?22令z?1，得n?(????易知BD?0, ?22, 0是平面SAC的法向量．

a, 0, 1)． 2?a??????a因为n?BD?(, 0, 1)?(0, ?22, 0)?0，

2?a????所以n?BD，所以平面BDE?平面SAC．

（Ⅲ）解：设CE?a（0?a?2），由（Ⅱ）可知， 平面BDE法向量为n?(a, 0, 1)． 2?a因为SO?底面ABCD，

????所以OS?(0, 0, 2)是平面SAC的一个法向量．

由已知二面角E?BD?C的大小为45?．

????2所以cos?OS, n??cos45??，

2所以2(a2)?1?22?a?2，解得a?1． 2所以点E是SC的中点．

【例7】如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA?底面ABCD，AB?3，

BC?1，PA?2，E为PD的中点

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE?面PAC，并求出点N到AB和AP的距离 【解析】：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

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则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0)、

B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、

1P(0,0,2)、E(0,,1)，

2从而AC?(3,1,0),PB?(3,0,?2). 设AC与PB的夹角为?，则

cos??AC?PB|AC|?|PB|?327?37, 1437 14

∴AC与PB所成角的余弦值为

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0,z)，则

1NE?(?x,,1?z)，由NE?面PAC可得，

2??NE?AP?0,???NE?AC?0.?1?3z?1?0,(?x,,1?z)?(0,0,2)?0,?x?????2 ∴?6 即?化简得?1?3x??0.?z?1?(?x,1,1?z)?(3,1,0)?0.??2??2?33 ,0,1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1,66即N点的坐标为(【例8】如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都

SN是地面边长的2倍,P为侧棱SD上的点? (Ⅰ)求证:AC⊥SD;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,w使得BE∥平面PAC?若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由?

解：(Ⅰ)连接BD,设AC,BD交与O,由题意,SO?平面ABCD,

????????????以O为坐标原点,OB,OC,OS分别为x轴,y轴,z轴正方向建立直角坐标系如图,

PAOBCED设底面边长为a,则SO?6a于是 2S(0,0,622a),D(?a,0,0),C(0,a,0), 222 7

????????226a,0,?a) OC?(0,a,0),SD?(?222????????OC?SD?0,所以OC?SD,从而AC?SD

????26(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,平面PAC的一个法向量DS?(a,0,a)

22????6平面DAC的一个发向量OS?(0,0,a),设所求二面角为?,

2????????DS?OS3??????则cos?????,??30?,即二面角P-AC-D的大小是30? |DS||OS|2(Ⅲ)在SC上存在一点E,使得BE∥平面PAC

????????26由(Ⅱ)知,DS为平面PAC的一个发向量,CS?(0,?a,a)

22????????????????????????????226a,a(1?t),at) 设CE?tCS,则BE?BC?CE?BC?tCS?(?222????????????????1BE?DS?0?t?,即当SE:EC?2:1时,BE?DS

3而BE不在平面PAC内,所以BE∥平面PAC

【例9】如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC,CC1上的点,CF?AB?2CE,AB:AD:AA1?1:2:4 (1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值; (2)证明AF?平面A1ED (3)求二面角A1?ED?F的正弦值?

〖解〗本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识, 考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力, 方法一:如图所示,建立空间直角坐标系, 点A为坐标原点,设AB?1,依题意得D(0,2,0),

?3?F(1,2,1),A1(0,0,4),E?1,,0?

?2? 8

??????1?????解:易得EF??0,,1?,A1D?(0,2,?4)

?2???????????????????EF?A1D3于是cosEF,A1D????????????

5EFA1D3所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为

5???????????3????1?证明:易知AF?(1,2,1),EA1???1,?,4?,ED???1,,0?

2?2???????????????????EA1=0,AF·于是AF·ED=0.因此,AF?EA1,AF?ED,又EA1?ED?E

所以AF?平面A1ED

?1?????y?z?0????2?u?EF?0(Ⅲ)解:设平面EFD的法向量u?(x,y,z),则?????,即? ????x?1y?0?u?ED?0??2不妨令X=1,可得u?(1,2?1?由(2)可知,AF为平面A1ED的一个法向量? ）于是cos?AF2u,==,从而sinu,AFuAF3|u||AF|??????????=5 3所以二面角A1-ED-F的正弦值为

5 3

【例10】如图5所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点. (I)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值;

(II)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F//平面A1BE?证明你的结论.

【解析】解法1 设正方体的棱长为1,如图所示,以AB,AD,AA1为单位 正交基底建立空间直角坐标系.

1(I)依题意,得B(1,0,0),E(0,1,),

2A(0,0,0),D(0,1,0),所以

1BE?(?1,1,),AD?(0,1,0).

2在正方体ABCD—A1B1C1D1中,因为AD⊥平面 ABB1A1,所以AD是平面ABB1A1的一个法向量, 设直线BE和平面ABB1A1所成的角为?,则

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sin??|BE?AD||BE|?|AD|?13?12?2. 32即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.

3

1(II)依题意,得A1(0,0,1),BA1?(?1,0,1),BE?(?1,1,)

2设n?(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量,则由n?BA1?0,n?BE?0,得

??x?z?0? ?1?x?y?z?0,?2?所以x?z,y?1z.取z?2,得n?(2,1,2) 2设F是棱C1D上的点,则F(t,1,1)(0?t?1). 又B1(1,0,1),所以

B1F?(t?1,1,0).D而B1F?平面A1BE,于是

B1F//平面A1BE?B1F?n?0?(t?1,1,0)?(2,1,2)?0?2(t?1)?1?0

?t?1?F为C1D1的中点,这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点),使B1F//平面A1BE. 2【例11】在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1A=AB=32，AC=3，?CAB?90?,P、Q分别为棱

12BB1、CC1上的点，且BP?BB1,CQ?CC1.

33（1）求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小.

（2）在线段A1B（不包括两端点）上是否存在一点M，使AM+MC1最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由. 【解析】：（1）建立如图所示空间直角坐标系A(x,y,z)

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