空间向量在立体几何中的应用(6)

所以B1D1⊥平面A1C1D，

所以平面A1C1D的一个法向量为n=（1，1，0） 设BD1与n所成的角为?， 则cos??…………7分 …………8分

n?BD1|n||BD1|??33??,

428

所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为. （III）解：平面A1C1A的法向量为m?(a,b,c)

34…………9分

则m?A1C1?0,m?A1A?0, 所以?a?b?0,a?3c?0 令c?3,可得m?(3,3,3) …………11分

则cos?m,n??m?n?|m||n|6221?42. 7所以二面角D?A1C1?A的余弦值为

42. 7…………12分

3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，D为AB的中点. （1）求异面直线AC1与B1B所成的角的余弦值； （2）求证：AC1//面B1CD； （3）求证：A1B?面B1CD

答案 5. 解：（1）在直三棱柱ABC?A1B1C1中 BB1//CC1

??AC1C是AC1与BB1所成的角（或其补角）………………………2分 在Rt?ACC1中，AC?CC1?2 ?cos?AC1C?2 …………………………………………4分 2 （2）连结BC1交B1C于O，连结OD。……………………………5分 则O为BC1的中点 又D为AB的中点

?OD//AC1 ……………………………………………7分

26

?OD?面B1CD,AC1?面B1CD

?AC1//面B1CD ………………………………9分 （3）在直三棱柱ABC?A1B1C1中 A1A?面ABC,CD?面ABC

?A1A?CD…………………………10分 ?Ac?BC,D是AB中点 ?CD?AB

?CD?面ABB1A1…………………………11分 ?CD?A1B…………………………12分 同理：B1C?A1B

?A1B?面B1CD…………………………13分

4．如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，

?BCF=?CEF=90?,AD=3,EF=2．

（1）求证：AE//平面DCF；

（2）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60?．

【分析】（1）只要过点E作BC的平行线即可；（2）由于点B是点A在平面BEFC内的射影，只要过点B作EF的垂线即可很容易地作出二面角A?EF?C的平面角，剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。

【解析】 方法一：（Ⅰ）证明：过点E作EG?CF交CF于G，连结DG，

可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，所以

∥EGAD D A B H E C G F

，

从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG．因为AE?平面DCF，

DG?平面DCF， 所以AE∥平面DCF．………6分 （Ⅱ）解：过点B作BH?EF交FE的延长线于H，连结AH． 由平面ABCD?平面BEFC，AB?BC，得AB?平面BEFC， 从而AH?EF．所以?AHB为二面角A?EF?C的平面角．

在Rt△EFG中，因为EG?AD?3，EF?2，

所以?CFE?60，FG?1．又因为CE?EF，所以CF?4，

?从而BE?CG?3，于是

BH?BE?sin?BEH?332，

9tan?AHB所以当AB为2时， 因为AB?BH?二面角A?EF?C的大小为60………12分

27

?

方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系

z C?xyz．设AB?a，BE?b，CF?c，

D 0，0)，E(3，b，0，a)，B(3，0)，F(0，c，0，0)，A(3，0)． 则C(0，A ????????????C BE?(0，b，0)AE?(0，b，?a)CB?(3，0，0) （Ⅰ）证明：，，，

????????????????x B F CB?CE?0CB?BE?0CB?AECB?BE 所以，，从而，，

y E 所以CB?平面ABE．因为CB?平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF．

故AE∥平面DCF．………6分

????????????????????0)，所以EF?CE?0，|EF|?2，从而，0)，CE?(3，b，（Ⅱ）解：因为EF?(?3，c?b???3?b(c?b)?0，?2??3?(c?b)?2，

3，0)，F(0，4，0)．设n?(1，y，z)与平面AEF垂直， 解得b?3，c?4．所以E(3，33????????????n?(1，3，)0，a)，所以a．又因为BA?平面BEFC，BA?(0， 则n?AE?0，n?EF?0，解得

????????|BA?n|33a1?|cos?n，BA?|??????|BA|?|n|a4a2?272， 99a?2．所以当AB为2时，二面角A?EF?C的大小为60?．………12分 得到

【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何。

【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用。 5. 已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD.异面直线PB与CD所成的角为45°.求： ⑴二面角B—PC—D的大小；

⑵直线PB与平面PCD所成的角的 大小.

解：⑴∵AB∥CD，∴∠PBA就是PB与CD所成的角，即∠PBA=45°,…1分

于是PA=AB.

作BE⊥PC于E，连接ED，

在△ECB和△ECD中，BC=CD，CE=CE， ∠ECB=∠ECD， △ECB≌△ECD，

∴∠CED=∠CEB=90°,

∠BED就是二面角B—PC—D的平面角.

………………………4分 设AB=a，则BD=PB=2a，PC=3a，

BE=DE=

PB?BC6?a,

PC3 28

BE2?DE2?BD21cos∠BED=??,∠BED=120°

2BE?DE2二面角B—PC—D的大小为120°； ………………………6分

⑵还原棱锥为正方体ABCD—PB1C1D1，作BF⊥CB1于F, ∵平面PB1C1D1⊥平面B1BCC1，

∴BF⊥平面PB1CD,………………………………8分 连接PF,则∠BPF就是直线PB与平面PCD所成 的角. ……………………………………………10分

BF=

21a,PB=2a,sin∠BPF=,∠BPF=30°. 22所以就是直线PB与平面PCD所成的角为30°. …………………12分

注：也可不还原成正方体,利用体积求出点B到平面PCD的距离，或用向量

法解答.

6.如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?底面ABCD,PA?AB?2,点E是棱PB的中点. （1）证明：AE?平面PBC;

(2)若AD=1，求二面角B?EC?D的大小.

P20.解：?1?证明：如图，由PA?底面ABCD得PA?AB,又PA?AB??PAB是等腰直角三角形，而E为PB中点?AE?PB??i????2分由题意知BC?AB且PB在平面ABCD上的射影是AB?BC?PB从而BC?面PAB，又AE?面PAB?AE?BC??ii????4分由?i??ii?及BC?PB?B，BC，PB?面PAC得AE?面PAC???5分

EABCD 29

?2?以A为坐标原点，射线AB,AD,AP分别为x,y,z的正半轴，建立空间直角坐标系A?xyz???6分??22?则A?0，0，0?，P0,0,2,B2,0,0,C2,1,0,E??2,0,2??,D?0,1,0??????????22?设平面BEC的法向量为n,由?1?知AE?面PAC，故可取n?AE??,0,???7分???2?2????????????k?DC?0设平面DEC的法向量为k??x,y,z?,则??????8分????????k?DE?0?????????22?且DC?2,0,0，DE??,?1,??2?2???????????2x?0????x?0??2，取y?1,则?，?k?0,1,2???9分?2?x?y?z?0?z?2?2?2????n?k?cosn,k??????10分?n?k?? ?111?0??0?1?222?333???12分?3

?二面角B?EC?D的大小是??arccos7． 如图， 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB?5，AA1＝4，点D是AB的中点

（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；

（Ⅱ）求二面角D?CB1?B的平面角的正切值．

答案7.（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

?AC2?BC2?AB2

∴ AC⊥BC， …………………2分 又 AC⊥C1C，且BC?C1C?C

∴ AC⊥平面BCC1 ，又BC1?平面BCC1 ……………………………………4分 ∴ AC⊥BC1 ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）解法一：取BC中点E，过D作DF?B1C于F，连接EF …………6分

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