该点即为所求,且
PP111. ??,?PP1AC33【例16】．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?2AD，且
??????????PC1??CC1(0???1)．
（I）求证：对任意0???1，总有AP?BD； （II）若??1，求二面角P?AB1?B的余弦值； 3（III）是否存在?，使得AP在平面B1AC上的射影 平分?B1AC？若存在, 求出?的值, 若不存在，
说明理由．
答案解：（I）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB?1，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,2)，
????????C1(0,1,2),P(0,1,2?2?)，从而BD?(?1,?1,0),AP?(?1,1,2?2?)，
?????????BD?AP?0，即AP?BD． （４分）
????14????（II）由（Ｉ）及??得，AP?(?1,1,),AB1?(0,1,2)，
334??x?3???1?x?y?0???设平面AB1P的法向量为n?(1,x,y)，则?33，
y?????2?x?2y?0?从而可取平面AB1P的法向量为n?(2,6,?3)，
??又取平面ABB1的法向量为m?(1,0,0)，且设二面角P?AB1?B为?，
???m?n2所以 cos?????? （９分）
m?n7（III） 假设存在实数?(0???1)满足条件，
????????????AB1所成的角相等， 由题结合图形，只需满足AP分别与AC、AP?AB1AP?AC即 ???????????????，即AP?ACAP?AB1??????????????24??8??6?22?5?4?4??8??6?52，
16
解得 ??5?105?10，使得AP在平面B1AC上 ?(0,1)．所以存在满足题意得实数44的射影平分?B1AC （14分）
【例17】 如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，
AD⊥平面DEFG，AB?AC,ED?DG, B EF∥DG．且AB?AD?DE?DG?2,AC?EF?1． （Ⅰ）求证： BF∥平面ACGD； （Ⅱ）求二面角D?CG?F的余弦值； （Ⅲ） 求五面体ABCDEFG的体积．
答案 (本题满分13分) 解法一 向量法 E
由已知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，则A（0，0，2）， B（2，0，2），C（0，1，2），E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）
A C D F
G
????????（Ⅰ）BF?(2,1,0)?(2,0,2)?(0,1,?2)，CG?(0,2,0)?(0,1,2)?(0,1,?2)
????????∴BF?CG，所以BF∥CG．又BF?平面ACGD，故 BF//平面ACGD …4分 ??????（Ⅱ）FG?(0,2,0)?(2,1,0)?(?2,1,0)，设平面BCGF的法向量为n1?(x,y,z)，
??????????????n1?CG?y?2z?0 则??????，令y?2，则n1?(1,2,1)，而平面ADGC的法向量n2?i?(1,0,0) ???n1?FG??2x?y?0??????????n1?n21?16 ?＝ ∴cos?n1,n2???????6|n1|?|n2|12?22?12?12?02?02
故二面角D-CG-F的余弦值为
6．9分 6（Ⅲ）设DG的中点为M，连接AM、FM， 则V＝V三棱柱ADM-BEF+V三棱柱ABC-MFG ＝DE?S△ADM?AD?S△MFG＝2??2?1?2??2?1＝4．……………13分
1212【例18】如图，一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径， 四边形DCBE为平行四边形，且DC?平面ABC。 （1）证明：平面ACD?平面ADE；
（2）若AB?2，BC?1，tan?EAB?3，试求该几何体的体积V． 2
答案 5.解：（１）证明：
∵DC?平面ABC ,BC?平面ABC ∴DC?BC． ------2分 ∵AB是圆O的直径 ∴BC?AC且DC?AC?C
∴BC?平面ADC． -----------------------------4分 ∵四边形DCBE为平行四边形 ∴DE//BC
17
∴DE?平面ADC -----------------------6分
又∵DE?平面ADE ∴平面ACD?平面ADE-----------7分
（2）解法１：所求简单组合体的体积：V?VE?ABC?VE?ADC-----9分
∵AB?2，BC?1， tan?EAB?EB3 ?AB2∴BE?3,AC?∴VE?ADC?AB2?BC2?3-------------11分
111S?ADC?DE?AC?DC?DE?-------12分 362111VE?ABC?S?ABC?EB?AC?BC?EB?---------13分
362∴该简单几何体的体积V?1-------------------------------14分
解法5：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱---8分
如图∵AB?2，BC?1， tan?EAB?EB3? AB2∴BE?3,AC?AB2?BC2?3-------------10分
∴V?VACB?FDE?VE?ADF=S?ACB?DC?1S?ADC?DE------------12分 311AC?CB?DC?AC?DC?DE 2611 =?3?1?3??3?3?1?1--------------14分
26?【例20】如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=2,CE=EF=1. (Ⅰ)求证:AF∥平面BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE; (Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小?
【解析】:(I)证明： 设AC与BD交与点G? 因为EF//AG,且EF=1,AG=
1AC=1. 2所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF//平面EG, 因为EG?平面BDE,AF?平面BDE, 所以AF//平面BDE.
(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,且CE?AC, 所以CE?平面ABCD.
如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-xyz.
18
则C(0,0,0),A(2,2,0),B(0,2,0).
????????????22 所以CF?(,,1),BE?(0,?2,1),DE?(?2,0,1).
22????????????????所以CF?BE?0?1?1?0,CF?DE??1?0?1?0
所以CF?BE,CF?DE. 所以CF?BDE.
????22(III) 由(II)知,CF?(,,1)是平面BDE的一个法向量.
22????????设平面ABE的法向量n?(x,y,z),则n?BA?0,n?BE?0.
?(x,y,z)?(2,0,0)?0即? 所以x?0,且z?2y, 令y?1,则z?2.
(x,y,z)?(0,?2,1)?0?所以n?(0,1,2).
????????n?CF3?????从而cos?n,CF??? 因为二面角A?BE?D为锐角, |n||CF|2所以二面角A?BE?D的大小为
?. 6
【例21】如图,?BCD与?MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD?平面BCD,AB?平面BCD,AB?23. (1)求点A到平面MBC的距离;
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.
解法二:取CD中点O,连OB,OM,
则OB?CD,OM?CD.又平面MCD?平面BCD, 则MO?平面BCD.
取O为原点,直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系如图.OB?OM?3,
则各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0,3),B(0,?3,0),A(0,?3,23)
?(1)设n?(x,y,z)是平面MBC的法向量,则 ?????????BC?(1,3,0),BM?(0,3,3)
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?????由n?BC得x?3y?0
??????由n?BM得3y?3z?0 ???取n?(3,?1,1),B?(0,0,23),则
d??????|BA?n|
?????????(2)CM?(?1,0,3),CA?(?1,?3,23)
???设平面ACM的法向量为n1?(x,y,z),
??????????????????x?3z?0由n1?CM,n1?CA得?
???x?3y?23z?0???解得x?3z,y?z,取n1?(3,1,1)
??又平面BCD的法向量为x?3z,y?z,取n1?(3,1,1) ???又平面BCD的法向量为n2?(0,0,1)
??????????n?n21??. 所以cos?n1,n2????1??|n1|?|n2|5设所求二面角为?,则sin??25. 5【例22】如图,五面体A?BCC1B1中,AB1?4.底面ABC是正三角形,AB?2. B1 四边形BCC1B1是矩形,平面ABC?平面BCC1B1 (I)求这个几何体的体积;
(Ⅱ)D在AC上运动,问:当D在何处时,有AB1∥平面BDC1,请说明理由; (III)求二面角B1?AC1?C的余弦值.
B
D A O C1
C
【解析】: (I)显然这个五面体是四棱锥A?BCC1B1,因为侧面BCC1B1垂直于底面ABC,所以正三角形ABC的高h?3就是这个四棱锥A?BCC1B1的高,又AB1?4 ,AB?2, 所以
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z
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