空间向量在立体几何中的应用(3)

A（0，0，0），P（32，0，2），Q（0，3，22）. 设平面APQ的一个法向量为n1?(x,y,z)

??n1?AP?0?32x?2z?0. ???n1?AQ?0?3y?22z?0.令z?3，则x??1,y??22,?n1?(?1,?22,3) 平面ABC的一个法向量n2?(0,0,1).

?cos(n1,n2)?32?. 21?8?9∴平面APQ与面ABC所成的锐角大小为45°. （1）问也用传统方法求解.（并参照计分）

（2）沿A1B将面A1BC1与面A1BA展开，连结AC1与A1B交于点M，此时AM+MC1有最小值.

∵?A1AB?90?,AA1?AB,??A1AB?45?,又C1A1⊥面ABB1A1，∴C1A1⊥A1B. ∴△AA1C1中，∠AA1C1=135°

AC1=AA12?A1C12?2AA1?A1C1?cos135??18?9?18?35. ∴存在点M，使AM+AC1取最小值为35.

【例12】在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC， ∠A1AC=60°. (Ⅰ)求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值；

(Ⅱ)已知点D满足BD?BA?BC，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？ 若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由. 〖解〗解：∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O， ∴A1O⊥平面ABC.

又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等， ∴AO=1，OA1=OB=3，BO⊥AC.

故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则

A(0，-1，0)，B(3，0，0)，A1(0，0，3)，C(0，1，0)，AA1?(0,1,3).

11

∴AB1??3,2,3,AC??0,2,0?.

?设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1)

??n?AB1?3x?2y?3则? ??n?AC?2y?0解得n=(-1,0,1). 由cos=AA1?nAA1?n?36?. 422而侧棱AA1与平面AB1C所成角，即是向量AA1与平面AB1C的法向量所成锐角的余角， ∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值为6.

4(Ⅱ)∵BD?BA?BC,而BA??3,?1,0,BC??3,1,0. ∴BD?(?23,0,0).

又∵B(3，0，0)，∴点D的坐标为D(-3，0，0). 假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P(0，y，z). ∴DP??????3,y,z

?∵DP∥平面AB1C，n=(-1，0，1)为平面AB1C的法向量，

?y?1??,?y?0. ∴由AP??AA1，得??3??3又DP?平面AB1C，

故存在点P，使DP∥平面AB1C，其从标为(0，0，3)，即恰好为A1点.

【例13】如图,在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中,E、F分别为AA1,和CC1的中点. (I)求证:EF∥平面ACD,;

(Ⅱ)求异面直线EF与AB所成的角;

(Ⅲ)在棱BB1上是否存在一点P,使得二面角P-AC-B的大小为30°?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.

【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识;考查空间想象能力?逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力.满分12分.

解法一:如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,由已知 得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、 C(0,2,0)、B1(2,2,2)、D1(0,0,2)、

12

E(1,0,2 )、F(0,2,1).…………

(Ⅰ)易知平面ACD1的一个法向量是 ?????DB1=(2,2,2). …………………

????又∵EF=(-1,2,-1), ?????????DB1= -2+4-2=0, 由EF·

?????????∴EF⊥DB1,而EF?平面ACD1,

∴EF∥平面ACD1……………………………………………………

????????????????????EF?AB46???????(Ⅱ) ∵AB=(0,2,0),cos=???

3|EF|?|AB|26∴异面直线EF与AB所成的角为arccos

6……………………. 3?(Ⅲ)设点P(2,2,t)(0

???????n?AC?0,则????? ???n?AP?0.????????∵AP=(0,2,t), AC=(-2,2,0),

??2x?2y?0,?2∴?取n?(1,1,?).

t?2y?tz?0,????易知平面ABC的一个法向量BB1?(0,0,2), ??????????依题意知,=30°或=150°,

?????∴|cos|=

4|?|t2?2?4t2?3……………………… 2即

6434t?. ,解得?(2?)223t4t66?(0,2],∴在棱BB1上存在一点P,当BP的长为时, 33∵

二面角P-AC-B的大小为30°. ……………………………

?????????解法二:(Ⅰ)同解法一知EF=(-1,2,-1) ,AD1=(-2,0,2),

13

?????????????????AC= (-2,2,0),∴AC-AD1=EF, ?????????????∴EF、AC、AD1共面.

又∵EF?平面ACD1,∴EF∥平面ACD1. ……………………………

【例14】如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,?ACB?90o,AA1?BC?2AC?2. (Ⅰ)若D为AA1中点,求证:平面B1CD?平面B1C1D;

A1

C1

B1

(Ⅱ)在AA1上是否存在一点D,使得二面角B1?CD?C1的大小为60°.

〖解〗解法二:

(Ⅰ)如图,以C为原点,CA、CB、CC1所在直线为

A D

C

B

x、y、z 轴建立空间直角坐标系.

则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,1). 即C1B1?(0,2,0),DC1?(?1,01),CD?(1,0,1)

由C1B1?CD?(0,2,0)?(1,0,1)?0?0?0?0得C1B1?CD 由DC1?CD?(?1,0,1)?(1,0,1)?0?0?0?0得DC1?CD 又DC1?C1B?C1

∴CD?平面B1C1D 又CD?平面B1CD ∴平面B1CD?平面B1C1D (Ⅱ)当AD?2AA1时二面角B1?CD?C1的大小为60° 2

????????设AD?a,则D点坐标为(1,0,a),CD?(1,0,a),CB1?(0,2,2)

??设平面B1CD的法向量为m?(x,y,z)

????????m?CB1?0?2y?2z?0则由 ????????? 令z??1

?x?az?0??m?CD?0??得m?(a,1,?1)

????又∵CB?(0,2,0)为平面C1CD的法向量

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??????m?CB11则由cos60??????? ???2m?CBa?22 解得a?2,故AD?2?2AA1. 2∴在AA1上存在一点D满足题意

?A1B1C1,已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且【例15】如图,斜三棱柱ABC?BCA?90?,?B1BC?60?,

B B1

BC?BB1?2,若二面角A?B1B?C为30?,

(1)证明AC?平面BB1C1C; C (2)求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值;

A

C1

A1

(3)在平面AA1B1B内找一点P,使三棱锥P?BB1C为正三棱锥,并求点P到平面BB1C距离.

解:(1) 面BB1C1C?面ABC,因为面BB1C1C?面ABC=BC,AC?BC,所以AC?面BB1C1C.

(2)取BB1中点E,连接CE,AE,在?CBB1中,BB1?CB?2,?CBB1?600

??CBB1是正三角形,?CE?BB1,又AC?面BB1C1C且BB1?面BB1C1C,

, ?BB1?AE,即?CEA即为二面角A?B1B?C的平面角为30°

? AC?面BB1C1C,?AC?CE,在Rt?ECA 中,?CE?3,?AC?CE?tan300?1, 又AC?面BB1C1C,??CB1A即AB1与面BB1C1C所成的线面角, 在Rt?B1CA中,tan?CB1A?AC1? CB12(3)在CE上取点P1,使

CP21?,则因为CE是?B1BC的中线,?P1是P1E1B B1

?B1BC的重心,在?ECA中,过P1作P1P//CA交AE于P,? AC?面BB1C1C,P1P//CA

C

?PP1?面CBB1,即P点在平面CBB1上的射影是?BCB1的中心,

A

C1

A1

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