高数练习册上(8)

§7.4 一阶线性微分方程

一、求下列微分方程的通解：

1．y??2xy?xe?x2;

2．y?+

1sinxxy?x

二、求下列微分方程满足初始条件的特解：

1. dydx?ytanx?secx，yx?0?0；

2. (x2?1)y??2xy?(x2?1)2,yx?0?1；

三、用适当的变量代换求方程通解：

dy?(x?y)2dx．

35

§7.5 可降阶的高阶微分方程

一、求下列各微分方程的通解：

二、求微分方程满足所给初始条件的特解： 1. (1?x2)y???xy??0,yx?0?0,y?x?0?1

1．y????sin2x

2. xy???y??x2ex

2. y???e2y，

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y(0)?0，y?(0)?1； §7.6 高阶线性微分方程

一、已知y1?ex,y2?e3x都是方程y???4y??3y?0的解，写出该方程

的通解． §7.7 二阶常系数齐次线性微分方程

一、求下列微分方程的通解

1. y???8y??15y?0 2. y???6y??9y?0

二、已知y1?ex,y2?xex都是方程y???2y??y?0的解，且y?x是方程y???2y??y?x?2的特解，求方程y???2y??y?x?2的通解．

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3. y???6y??13y?0. 4.y(4)?2y????y???0二、求下列方程满足所给初始条件的特解

1． 4y???4y??y?0,y(0)?2,y?(0)?0

2．y???3y?0,y(0)?2,y?(0)?33

§7.8 二阶常数非齐次线性微分方程

一、下列各微分方程的通解

1. y???2y??y?xex

2. y???2y??8y?(x?1)e?2x 3. y???2y??2y?exsinx

二、求特解：y???10y??9y?e2x,yx?0?6/7,yx?0?337 ．

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第一章 提高题

一、填空题:

三、设lim(3x?ax?bx?1)?2，求a,b.

x???2x2?ax?b?5，则a? ， b? . 1． 设limx?11?x(4?3x)22． lim = ．

x??x(1?x2)3． limexarctanx? ．

x????ex?1, x?04． f(x)??，在x=0处连续，则b= ．

?x?b, x?0sinx?ex与xn当x?0时为同阶无穷小，则n? . 5. 函数e6．f(x)?1ex1ex1??ex1??ex1?xsin?bx?0?x?ax?0，问 四、设 f(x)???sinx?x?0x?1. a,b为何值时，f(x)在x?0处有极限存在？ 2. a,b为何值时，f(x)在x?0处连续？

五、设f(x)在[0, 2a]上连续，且f(0)?f(2a)，证明至少有一点??[0,a]，使f(?)?f(??a)(其中a?0)．

，则f(x)的连续区间为 ，

f(0?)= ，f(0?)= ．

二、计算下列极限: 1．lim2sinn??1xnx2n?1 2．limsinsin(x?1)

x?1lnx2x?13x) 2x?1ln(1?32?x)33．limx(e?1) 4．lim(x???x??5．limx?01?xsinx?cosx 6．limx?2xtanxarctan4?x2 n2n) 7．limx[ln(1?x)?lnx] 8. lim(2n??n?1x???

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