黄冈中学初高中衔接教材含答案(8)

n＝1－a2；

(2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值 n＝4a+5；

(2)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值 n＝-2a+2.

综上,函数的最小值为

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

练 习

1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解． 2．（1）??x1?15,??y?x2??20,?x1?5,?x2??1?20,?y?15; （2）?2,?y??2,??y 2?12?5;? （3）?5?x?,?3 （?x1?2,??44）??x2?2,??y?2,

?y2??2. ?y??13.

2.3.2 一元二次不等式解法

练 习

1．（1）x＜－1，或x＞4

3

； （2）－3≤x≤4； （3）x＜－4，或x＞1；

（4）x＝4．

2．不等式可以变为(x＋1＋a)( x＋1－a)≤0，

（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a；

（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1； （3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a． 综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a； 当a＝0时，原不等式的解为x＝－1；

当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a．

习题2．3 A 组

??1．（1）??x1?2,?x?10,?24?x2?,?y?0, ?2?3 （2）??x1?0,

?51???12 ?y42??y1?0,3.??y2??5. （3）???x1?3?2,??x2?3?2, ?? ?y1?3?2,??y2?3?2; ３６

（4）???x1?3,??x2?3,??x3??3,??x4??3,??y??1,?1?1,??y2??1,??y3?? ?y4??1.2．（1）无解 （2）?233?x?233 （3）1－2≤x≤1＋2 （4）x≤－2，或x≥2

B 组

1．消去y，得4x2?4(m?1)x?m2?0．

当??16(m?1)2?16m2?0,即m?12时，方程有一个实数解． 将m?1?2代入原方程组，得方程组的解为??x?1,?4

?y?1.2．不等式可变形为(x－1)(x－a)＜0．

∴当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a； 当a＝1时，原不等式的无实数解； 当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1．

C 组

1．由题意，得 －1和3是方程2x2＋bx－c＝0的两根，

∴－1＋3＝－b2 ，－1×3＝－c

2

， 即b＝－4，c＝6．

∴等式bx2＋cx＋4≥0就为－4 x2＋6x＋4≥0，即2 x2－3x－2≤0，

∴－1

2

≤x≤2．

2．∵y＝－x2

＋mx＋2＝－(x－m2m22 )＋2＋ 4

，

∴当0≤m2 ≤2，即0≤m≤4时，k＝2＋ m2

4 ；

当m

2 ＜0，即m＜0时，k＝2；

当m

2

＞2，即m＞4时，k＝2m－2．

??2,m?0, ∴k???m2?2,0?m?4,

?4??2m?2,m?4. ３７

3．1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.

在一张方格纸上，我们作平行线l1,l2,l3（如图3.1-1），直线a交l1,l2,l3于点A,B,C，AB?2,BC?3，另作直线b交

A'B'AB2??. B'C'BC3我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

ABDE图3.1-1 AB?DE.在运用该如图3.1-2，l1//l2//l3，有.当然，也可以得出=BCEFACDF定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.

l1,l2,l3于点A',B',C'，不难发现

例1 如图3.1-2， l1//l2//l3， 且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF. 解 Ql1//l2//l3\\,ABDE2== ,BCEF328312DE?DF?,EF?DF?.

2?352?35

图3.1-2

例2 在?ABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE//BC，

求证：

ADAEDE. ??ABACBC证明（1） ?DE//BC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

??ADE∽?ABC，?ADAEDE??. ABACBC证明（2） 如图3.1-3，过A作直线l//BC，

?l//DE//BC,

?ADAE. ?ABAC过E作EF//AB交AB于D，得?BDEF， 因而DE?BF.

图3.1-3

３８

?EF//AB,?AEBFDE??. ACBCBCADAEDE???. ABACBC

从上例可以得出如下结论：

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

例3 已知?ABC，D在AC上，AD:DC?2:1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上. 解 假设能找到，如图3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作EG//AC交BD于G.

?EG//AC,EF?FC，

??EGF??CDF，且EG?DC，

1BEEG1??, ?EG//AD,?BEG??BAD，且

BAAD22?E为AB的中点.

可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上.

图3.1-4 我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解

则存在，无解或矛盾则不存在.

ABBD例4 在VABC中，AD为DBAC的平分线，求证：. =ACDC证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E，

BABDQAD//CE,\\=.

AEDCQAD平分衆BAC,?BAD由AD//CE知?BAD\\?E?ACE,即AE DAC,

行E,DAC= ACE, AC,

图3.1-5

ABBD. =ACDC例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.

练习1 \\1．如图3.1-6，l1//l2//l3，下列比例式正确的是（ ）

３９

AD=DFCEC．=DF

A．

CEAD B．=BCBEADAF D.=BCDFBC AFBE CE图3.1-6

2．如图3.1-7，DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,求BF.

图3.1-7

3．如图，在VABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.

图3.1-8

4．如图，在VABC中，DBAC的外角平分线AD交BC的延长线

ABBD于点D，求证：. =ACDC 图3.1-9

5．如图，在VABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线

DFAC交BC的延长线于F.求证：. =EFAB

图3.1-10

3.1．2．相似形

我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，?BAC CDB，求证：?DAC CBD.

证明 在VOAB与VODC中，

４０

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