黄冈中学初高中衔接教材含答案(5)

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数

根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B 组

1．选择题:

若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为

（ ）

（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空:

（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ． 3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求： （1）| x1－x2|和

（2）x13＋x23．

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．

C 组

1．选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于

（ ）

（A）3 （B）3 （C）6 （D）9 （2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则

x1?x2； 2（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为

（ ） （A）α＋β≥

x1x2?的值为 （ ） x2x13 （A）6 （B）4 （C）3 （D）

211 （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 22（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋

（ ）

（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2．填空：

若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ ． 3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－（2）求使

c＝0的根的情况是 43成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； 2x1x2?－2的值为整数的实数k的整数值； x2x1x（3）若k＝－2，??1，试求?的值．

x2

２１

m24．已知关于x的方程x?(m?2)x??0．

42（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2． 5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

2.1 一元二次方程

练习

1． （1）C （2）D

2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x2＋2x－3＝0 3．k＜4，且k≠0

4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9

习题2．1 A 组

1． （1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实

2数根；对于④，其两根之和应为－．

3 （3）C 提示：当a＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．

172． （1）2 （2） （3）6 （3）3 4113．当m＞－，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根；

441当m＜－时，方程没有实数根．

44．设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是－x1和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，∴(－x1)

＋(－x2)＝－7，(－x1)×(－x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程为y2＋7y－1＝0．

B组

1．C 提示：由于k=1时，方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006． （2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)( a2＋b2)

＝(a＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．

3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．

b2?4acx1?x23abc?b3b33

4．（1）| x1－x2|＝，＝?；（2）x1＋x2＝．

|a|a322a5．∵| x1－x2|＝16?4m?24?m?2，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．

C组

1．（1）B （2）A

1，∴α＋β＝2(1－m)≥1． 2 （4）B 提示：∵a，b，c是ΔABC的三边长，∴a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)2－c2＞0． 2．（1）12 提示：∵x1＋x2＝8，∴3x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋x1＝2×8＋x1＝18，∴x1＝2，∴x2＝6，∴m＝

（3）C 提示：由Δ≥0，得m≤

２２

x1x2＝12．

3．（1）假设存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－

∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，

∴k≠0，且Δ＝16k2－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0． ∵x1＋x2＝1，x1x2＝

3成立． 2∴ (2x1－x2)( x1－2 x2)＝2 x12－51x2＋2 x22 ＝2(x1＋x2)2－9 x1x2＝2－

k?1， 4k39(k?1)＝－，

24k939(k?1)7即＝，解得k＝，与k＜0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立．

5224kx12?x22(x1?x2)2?2x1x2(x1?x2)2x1x2?2??2??4 ?－2＝（2）∵

x1x2x1x2x1x2x2x14k4k?4(k?1)4 ＝， ?4???k?1k?1k?1xx∴要使1?2－2的值为整数，只须k＋1能整除4．而k为整数，

x2x1∴k＋1只能取±1，±2，±4．又∵k＜0，∴k＋1＜1， ∴k＋1只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5．

x1x2?－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5． x2x11（3）当k＝－2时，x1＋x2＝1，① x1x2＝， ②

8xx12 ①2÷②，得1?2＋2＝8，即???6，∴??6??1?0，

x2x1?∴能使

∴??3?22． 4．（1）Δ＝2(m?1)?2?0；

2m2 （2）∵x1x2＝－≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0．

4 ①若x1≤0，x2≥0，则x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2－2x－4＝0，∴x1?1?5，x2?1?5．

②若x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，

∴m＝0．此时，方程为x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2．

5．设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1x2＝a， 由一根大于1、另一根小于1，得

(x1－1)( x2－1)＜0， 即 x1x2－(x1＋x2)+1＜0， ∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2． 此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0， ∴实数a的取值范围是a＜－2．

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？

２３

为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝

之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．

先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x x2 2x2 … … … －3 9 18 －2 4 8 －1 1 2 0 0 0 1 1 2 2 4 8 12

x，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象23 9 18 … … 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图

2

2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝

y＝2x 2y y＝x2 两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同

22

学们可以作出函数y＝2(x＋1)＋1与y＝2x的图象（如图2－2所示），从函数的同学

2

我们不难发现，只要把函数y＝2x的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

12

x，y＝－2x2的图象，并研究这2O 图2.2-1

y x y＝2(x＋1)2＋1 y＝2(x＋1)2 y＝2x2 所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

2

b2b2bb2

由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋x)＋c＝a(x＋x＋2)＋c－

4a4aaab2b2?4ac)? ?a(x?， 2a4a2

2

－1 O 图2.2-2

x b4ac?b2b,)，对称轴为直线x＝－（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为(?；2a4a2abbb当x＜?时，y随着x的增大而减小；当x＞?时，y随着x的增大而增大；当x＝?时，函数取最小值y＝

2a2a2a4ac?b2． 4ab4ac?b2b2

,)，对称轴为直线x＝－（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为(?；2a4a2abbb当x＜?时，y随着x的增大而增大；当x＞?时，y随着x的增大而减小；当x＝?时，函数取最大值y＝

2a2a2a

２４

4ac?b2． 4a 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x＝－1； 顶点坐标为(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点B(23?323?3,0)和C(?,0)，与y轴的交点为D(0，331)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．

例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示： 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋（B） 将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有

?70?130k?b, ?50?150k?b,?解得 k＝－1，b＝200．

∴ y＝－x＋200．

设每天的利润为z（元），则

z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000 ＝－(x－160)2＋1600，

２５

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