黄冈中学初高中衔接教材含答案(2)

第四部分 分章节突破

1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.４ 分式 1．2 分解因式

2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法

3．1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形

3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3．3圆

3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹

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1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

?a,a?0,?|a|??0,a?0,

??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 例1 解不等式：x?1?x?3＞4．

解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0，得x?3； ①若x?1，不等式可变为?(x?1)?(x?3)?4， 即?2x?4＞4，解得x＜0， 又x＜1， ∴x＜0；

②若1?x?2，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即1＞4，

∴不存在满足条件的x；

③若x?3，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即2x?4＞4， 解得x＞4． 又x≥3，∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4．

解法二：如图1．1－1，x?1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

义即为 所以，不等式x?1?x?3＞4的几何意|PA|＋|PB|＞4．

由|AB|＝2，可知

点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P侧．

x＜0，或x＞4．

练 习 1．填空：

|x－3|

P x C 0 |x－1|

图1．1－1 A 1 B D 3 4 x 在点D(坐标为4)的右

（1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________.

（2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

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（A）若a?b，则a?b （B）若a?b，则a?b （C）若a?b，则a?b （D）若a?b，则a??b 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2；

222?a?2ab?．b （2）完全平方公式 (a?b)我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

23（1）立方和公式 (a?b)(a ?ab?2b)?3a?；b23（2）立方差公式 (a?b)(a ?ab?2b)?3a?；b2222（3）三数和平方公式 (a?b?c)?a?b?c2?(ab?bc?；) ac3323?a?3ab?3a2b?；b（4）两数和立方公式 (a?b) 332?a?3ab?3a2b?．b（5）两数差立方公式 (a?b)

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)．

222解法一：原式=(x2?1)??(x?1)?x??

=(x2?1)(x4?x2?1) =x6?1．

解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1)

=x6?1．

例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值． 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8．

练 习 1．填空：

121211； a?b?(b?a)（ ）

942322（2）(4m? )?16m?4m?( )；

（1）

（3）(a?2b?c)?a?4b?c?( )． 2．选择题：

22221mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ ） 21212122（A）m （B）m （C）m （D）m

431622（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （ ）

（1）若x?2 （A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为

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无理式. 例如 3a?a2?b?2b，a2?b2等是无理式，而2x2?理式．

1．分母（子）有理化

2x?1，x2?2xy?y2，a2等是有2把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数

3a与a，3?6与3?6，23?32与23?32，式互为有理化因式，例如2与2，等等． 一

般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与ax?b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式a2的意义

a2?a???a,a?0,

??a,a?0.例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4x6y(x?0)． 解： （1）12b?23b；

（2）a2b?ab?ab(a?0)； （3）4x6y?2x3y??2x3y(x?0)．

例2 计算：3?(3?3)． 解法一：

3?(3?3＝)33?3

＝3?(3?3) (3?3)(3?3)3 3(3?1)1 ＝

3?1 ＝33?3 ＝

9?33(3?1) ＝

63?1 ＝．

23?3＝)解法二： 3?(3 3?3例3 试比较下列各组数的大小：

＝ ＝

3?1 (3?1)(3?1)3?1． 2（1）12?11和11?10； （2）解： （1）∵12?11?

2和22－6. 6?412?11(12?11)(12?11)1??， 112?1112?11９

11?10?11?101?110)(?1110)1?(11?10?1?，1110 又12?11?11?10， ∴12?11＜11?10．

（2）∵22－6?22－6(221?－6)(22+6)22+6?222+6, 又 4＞22，

∴6＋4＞6＋22，

∴26?4＜22－6.

例4 化简：(3?2)2004?(3?2)2005． 解：(3?2)2004?(3?2)2005

＝(3?2)2004?(3?2)2004?(3?2) ＝?2004?(3?2)?(3?2)???(3?2)

＝12004?(3?2) ＝3?2．

例 5 化简：（1）9?45； （2）x2?1x2?2(0?x?1)．

解：（1）原式?5?45?4

（2）原式=(x?11 ?(5)2?2?2?5?22 x)2?x?x，∵0?x?1， ?(2?5)2 ∴1?2?5?5?2．

x?1?x， 所以，原式＝1x?x．

例 6 已知x?3?23?2,y?3?23?2，求3x2?5xy?3y2的值 ． 解： ∵x?y?3?23?23?2?3?2?(3?2)2?(3?2)2?10， xy?3?23?2?3?23?2?1， ∴3x2?5xy?3y2?3(x?y)2?11xy?3?102?11?289．

练 习 1．填空： （1）1?31?3＝__ ___；

（2）若(5?x)(x?3)2?(x?3)5?x，则x的取值范围是_ _ ___；

（3）424?654?396?2150?__ ___；

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