高中数学必修五第三章《不等式》导学案及章节检测(8)

答案 B 解析 ∵ab≤?又∵∴

22

?a＋b?2，a≠b，∴ab<1，

??2?

>2>0，

a2＋b2a＋ba2＋b2

>1，∴ab<1<

a2＋b2

2

. 2

2

4．已知正数0

22

A．a＋b B．2ab C．2ab D．a＋b 答案 D

22

解析 因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2ab，a＋b>2ab，所以，最大的只能是

22

a2＋b2与a＋b之一．而a＋b－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0

22

b－1<0，因此a＋b

5．设0

答案 B

?a＋b?2，∴ab<1，∴2ab<1. 解析 ∵ab

∵

>>0，∴ >，

2222221∴a＋b>. 222222

∵b－(a＋b)＝(b－b)－a＝b(1－b)－a

222

＝ab－a＝a(b－a)>0，∴b>a＋b，∴b最大．

2

6．若不等式x＋ax＋1≥0对一切x∈(0，1]恒成立，则a的最小值为( )

5

A．0 B．－2 C．－ D．－3

2

答案 B

2

解析 x＋ax＋1≥0在x∈(0，1]上恒成立

??1??2

?ax≥－x－1?a≥?－?x＋??max.

a2＋b2a＋ba2＋b21

??x??

1?1?∵x＋≥2，∴－?x＋?≤－2，∴a≥－2. x?x?

二、填空题 7．若a<1，则a＋

1

有最______值，为________． a－1

答案 大 －1

解析 ∵a<1，∴a－1<0，

1?1?∴－?a－1＋＝(1－a)＋≥2(a＝0时取等号)， ?a－1?1－a?

11

∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.

a－1a－1

25

8．若lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为________．

xy答案 2

解析 ∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，x>0，y>0，

252x∴＋＝＋≥2(x＝2时取等号)． xyx2

9．已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．

34

答案 3

解析 ∵x>0，y>0且1＝＋≥234∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．

3410．若对任意x>0，

＋

xyxyxy12

，

xyx≤a恒成立，则a的取值范围为________．

x＋3x＋1

2

?1?答案 ?，＋∞? ?5?

解析 ∵x>0，∴

x>0，易知a>0.

x＋3x＋1

2

x2＋3x＋11∴≥，

xa11

∴≤x＋＋3.

ax1

∵x>0，x＋＋3≥2

xx·＋3＝5(x＝1时取等号)， x1

11∴≤5.∴a≥. a5三、解答题

bccaab＋≥a＋b＋c. abcbccaab证明 ∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．

abcbccacaabbcab∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， abbcac?bccaab?三式相加得2?＋＋?≥2(a＋b＋c)， ?abc?

bccaab即＋＋≥a＋b＋c. abc11n12．a>b>c，n∈N且＋≥，求n的最大值．

a－bb－ca－c解 ∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.

11n∵＋≥， a－bb－ca－ca－ca－c∴n≤＋. a－bb－c∵a－c＝(a－b)＋(b－c)，

a－b＋b－ca－b＋b－c∴n≤＋，

a－bb－cb－ca－b∴n≤＋＋2.

a－bb－cb－ca－bb－ca－b∵＋≥2 a－bb－ca－bb－c＝2(2b＝a＋c时取等号)．

11．设a、b、c都是正数，求证：＋∴n≤4.∴n的最大值是4. 能力提升

?1a?13．已知不等式(x＋y)?＋?≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为

?xy?

( )

A．8 B．6 C．4 D．2 答案 C

?1a?解析 只需求(x＋y)?＋?的最小值大于等于9即可，

?xy?

xy?1a?又(x＋y)?＋?＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2 ?xy?

yxxya··＝a＋2 a＋1，等号成立仅当yxxya·＝即可，所以(a)2＋2 a＋1≥9， yx2

即(a)＋2 a－8≥0求得a≥2或a≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4. 14．已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.

111

求证：a＋b＋c<＋＋. abc1

11

证明 ∵＋≥2 abab＝2c，

11

bcca1＋≥2 1＋≥2

1

bc1

＝2a， ＝2b，

ac?111?∴2?＋＋?≥2(a＋b＋c)， ?abc?

111

即＋＋≥a＋b＋c.

abc∵a，b，c为不等正实数，

111

∴a＋b＋c<＋＋.

abc

1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，2a＋ba2＋b2b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤ab≤≤ ≤max(a，b)．当且仅当1122＋aba＝b时，取到等号． ≥ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，2取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解． a＋b一方面：当a＝b时，＝ab； 2a＋b另一方面：当＝ab时，也有a＝b. 2

2．两个不等式a＋b≥2ab与22a＋ba＋b

3.4 基本不等式：ab≤(二)

2

课时目标

1．熟练掌握基本不等式及变形的应用；

2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 1．设x，y为正实数

(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.

4(2)若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p. 2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x，y必须是正数；

(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．

(3)等号成立的条件是否满足．

利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．

一、选择题

1

＋5? (x>1)的最小值为( ) x－1??

A．－3 B．3 C．4 D．－4 答案 B

xy2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2＋4的最小值为( ) A．22 B．42 C．16 D．不存在 答案 B

解析 ∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.

33xyxyx＋2y∴2＋4≥22·4＝22＝42(x＝，y＝时取等号)．

24

2

5x－4x＋5

3．已知x≥，则f(x)＝有( )

22x－455

A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1

24

答案 D

x2－4x＋5x－2＋1

解析 f(x)＝＝ 2x－4x－1?1?

＝?x－＋≥1.

x－2?2??1

当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．

x－2x2＋5

4．函数y＝2的最小值为( )

x＋41．函数y＝log2?x＋

s2

??

5

A．2 B. C．1 D．不存在

2

答案 B

x2＋512

解析 y＝2＝x＋4＋2 x＋4x＋4

112

∵x＋4≥2，而2≤，所以不能用基本不等式求最小值，用函数的单调性求最

x＋421

值，函数y＝x＋在(1，＋∞)上是增函数，∴在[2，＋∞)上也是增函数．

x52

∴当x＋4＝2即x＝0时，ymin＝.

2

5．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )

911

A．3 B．4 C. D.

22

答案 B

x＋2y2

解析 ∵8－(x＋2y)＝2xy＝x·(2y)≤().

2

2

∴原式可化为(x＋2y)＋4(x＋2y)－32≥0. ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥4. 当x＝2，y＝1时取等号．

1?2?1?2?6．若xy是正数，则?x＋?＋?y＋?的最小值是( ) ?2y??2x?79

A．3 B. C．4 D.

22

答案 C

1?2?1?2?解析 ?x＋?＋?y＋? ?2y??2x?1?11?xy22

＝x＋y＋?2＋2?＋＋ 4?xy?yx?21??21??xy?＝?x＋2?＋?y＋2?＋?＋?≥1＋1＋2＝4.

4x??4y??yx??

当且仅当x＝y＝二、填空题

7．设x>－1，则函数y＝22

或x＝y＝－时取等号． 22

x＋

x＋1

x＋

的最小值是________．

答案 9

解析 ∵x>－1，∴x＋1>0， 设x＋1＝t>0，则x＝t－1，

t＋t＋t2＋5t＋44

于是有y＝＝＝t＋＋5≥

ttt2

t·＋5＝9，

tt4

4

当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1. ∴当x＝1时，

x＋

函数y＝

x＋

x＋1

8．已知正数a，b满足a＋b－ab＋3＝0，则ab的最小值是________．

取得最小值为9.

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