高中数学必修五第三章《不等式》导学案及章节检测

高中数学必修五第三章 《不等式》导学案及章节检测

目 录

3.1 不等关系与不等式 ........................................................................... 2 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ......................................................... 7 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ....................................................... 12 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ............................................. 16 3．3.2 简单的线性规划问题(一) ......................................................... 22 3．3.2 简单的线性规划问题(二) ......................................................... 28 a＋b3.4 基本不等式：ab≤2(二) ........................................................ 39 第三章 不等式复习课 ............................................................................ 43 第三章 不等式章末检测（A） ............................................................. 49 第三章 不等式章末检测（B） .............................................................. 56

3.1 不等关系与不等式

课时目标

1．初步学会作差法比较两实数的大小．

2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 1．比较实数a，b的大小 (1)文字叙述

如果a－b是正数，那么a>b； 如果a－b等于0，那么a＝b；

如果a－b是负数，那么a0?a>b； a－b＝0?a＝b； a－b<0?a

2．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b

(2)a>b，b>c?a>c(传递性)； (3)a>b?a＋c>b＋c(可加性)；

(4)a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?acb，c>d?a＋c>b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac>bd；

nn(7)a>b>0，n∈N，n≥2?a>b； (8)a>b>0，n∈N，n≥2?

nna>b.

一、选择题

1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( ) 1122A.< B．a>b

ababC.2>2 D．a|c|>b|c| c＋1c＋1

答案 C

bab对B，若a＝1，b＝－2，则a

ab2

对C，∵c＋1≥1，且a>b，∴2>2恒成立，

c＋1c＋1

2

2

1111

解析 对A，若a>0>b，则>0，<0，此时>，∴A不成立；

a∴C正确；

对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．

2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( ) A．a>>2 B.2>>a

aabbaabbC.>a>2 D.>2>a 答案 D

ababaabbaa1

解析 取a＝－2，b＝－2，则＝1，2＝－，

bb2

∴>2>a.

3．已知a、b为非零实数，且a

2222

A．aaabbababab答案 C

22

解析 对于A，当a<0，b<0时，a

2222

对于B，当a<0，b>0时，ab>0，ab<0，ab

111

对于C，∵a0，∴2<2；

ababba对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1.

ab－1,3

4．若x∈(e1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝lnx，则( ) A．a答案 C

1

解析 ∵

e

令t＝ln x，则－1

∴a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.

c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)， 又∵－10，∴c>a.∴c>a>b.

5．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )

33

A．b－a>0 B．a＋b<0

22

C．a－b<0 D．b＋a>0 答案 D

解析 由a>|b|得－a∴a＋b>0，且a－b>0.∴b－a<0，A错，D对． 可取特值，如a＝2，b＝－1， a3＋b3＝7>0，故B错．

22

而a－b＝(a－b)(a＋b)>0，∴C错．

6．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( ) A．ab>ac B．ac>bc

222

C．a|b|>c|b| D．a>b>c 答案 A

解析 由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0， 又∵a>0，b>c，∴ab>ac.故选A. 二、填空题

7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________． 答案 [－1,6]

解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6.

22

8．若f(x)＝3x－x＋1，g(x)＝2x＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．

ab答案 f(x)>g(x)

22

解析 ∵f(x)－g(x)＝x－2x＋2＝(x－1)＋1>0， ∴f(x)>g(x)．

x1

9．若x∈R，则2与的大小关系为________．

1＋x2x1

答案 2≤

1＋x2

22

x12x－1－x－x－

解析 ∵＝≤0， 2－＝22

1＋x2＋x＋xx1∴2≤. 1＋x2

10．设n>1，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B的大小关系为________． 答案 A>B

11

解析 A＝，B＝.

n＋n－1n＋1＋n∵n＋n－1B.

三、解答题

a2－b2a－b11．设a>b>0，试比较2与的大小．

a＋b2a＋b解 方法一 作差法 a2－b2a－ba＋ba2－b2－a－ba2＋b2

－＝ a2＋b2a＋ba2＋b2a＋ba－ba＋b2－a2＋b22aba－b＝＝ 22

a＋ba＋ba＋ba2＋b2

∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.

2aba－ba2－b2a－b∴>0，∴22>.

a＋ba2＋b2a＋ba＋b方法二 作商法

a2－b2a－b∵a>b>0，∴2>0. 2>0，

a＋ba＋ba2－b2a2＋b2a＋b2a2＋b2＋2ab2ab∴＝2＝＝1＋2>1. 222

a－ba＋ba＋ba＋b2a＋ba2－b2a－b∴2>. a＋b2a＋b12．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．

3x解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，

40＜x＜1，??①当?3x＞1，??4

x＞1，??

或?3x0＜＜1，?4?

43x即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；

343x43x②当＝1，即x＝时，logx＝0，即f(x)＝g(x)；

434

?0＜x＜1，?x＞1③当?

?或?

，?3x??

0＜4＜1，

?3x?4

＞1，

即0＜x＜1，或x＞43x3时，logx4＞0，即f(x)＞g(x)．

综上所述，当1＜x＜4

3

时，f(x)＜g(x)；

当x＝4

3

时，f(x)＝g(x)；

当0＜x＜1，或x＞4

3

时，f(x)＞g(x)．

能力提升

13．若0

C．a1

1b2＋a2b1 D.2

答案 A

解析 方法一 特殊值法．

令a13131＝4，a2＝4，b1＝4，b2＝4

，

则ab10563

11＋a2b2＝16＝8，a1a2＋b1b2＝16＝8，

ab63

1b2＋a21＝16＝8

，

∵58>13

2>8

，∴最大的数应是a1b1＋a2b2. 方法二 作差法．

∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0a1，b2＝1－b1>b1，

∴0

11<2

.

又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1－b1，

a＋b)＋b2

1a21b2＝a1(1－a11(1－b1)＝a1＋b1－a21－b1， a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，

∴(a22

1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a1＋b1－2a1b1

＝(a2

1－b1)≥0，

∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.

∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1 ＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)

＝4???

a11－2??????b11－2???>0， ∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.

∵(a11

1b1＋a2b2)－2＝2a1b1＋2

－a1－b1

＝b－11(2a1－1)?1?2(2a1－1)＝(2a1－1)??

b1－2?? ＝2??1?

a1－2?????1?b1－2???>0， )