1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．
2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．
3．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．
3.2 一元二次不等式及其解法(二)
【课时目标】
1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式． 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．
1．一元二次不等式的解集： 判别式 Δ>0 2Δ＝b－4ac x1
gx?gx?fxfx(2)≤0??
gx??gx(3)
；
fxfx－agx≥a?≥0.
gxgx3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：
?a>0?
ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立??；
?Δ<0?
ax2
??a<0
＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立??
?Δ≤0?
.
(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则： a>f(x)，x∈D恒成立?a>f(x)max； a 一、选择题 x－2 1．不等式>0的解集是( ) x＋3 A．(－3,2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案 C x－2 解析 解不等式>0得，x>2或x<－3. x＋3 2．不等式(x－1)x＋2≥0的解集是( ) A．{x|x>1} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≤－2或x＝1} 答案 C 解析 当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1. ∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}． x2－2x－2 3．不等式2<2的解集为( ) x＋x＋1 A．{x|x≠－2} B．R C．? D．{x|x<－2或x>2} 答案 A 2222 解析 原不等式?x－2x－2<2x＋2x＋2?x＋4x＋4>0?(x＋2)>0，∴x≠－2. ∴不等式的解集为{x|x≠－2}． x＋5 4．不等式≥2的解是( ) x－211 A．[－3，] B．[－，3] 2211 C．[，1)∪(1,3] D．[－，1)∪(1,3] 22答案 D ?x－2?x＋x＋5 解析 ≥2?? x－2?x－1≠0? 1??－≤x≤3， ??2??x≠1， 1 ∴x∈[－，1)∪(1,3]． 2 2 5．设集合A＝{x|(x－1)<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 答案 C 2 解析 解不等式(x－1)<3x＋7，然后求交集． 2 由(x－1)<3x＋7， 得－1 ∴A∩Z的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素． 2 6．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( ) A．1 2 解析 设g(a)＝(x－2)a＋(x－4x＋4)， 2 ?＝x－3x＋2>0?gg(a)>0恒成立且a∈[－1,1]?? 2 ?g－＝x－5x＋6>0? ??x<1或x>2 ?? ?x<2或x>3? ?x<1或x>3. 二、填空题 7．若关于x的不等式 x－a>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________. x＋1 答案 4 x－a解析 >0?(x＋1)(x－a)>0 x＋1 ?(x＋1)(x－4)>0 ∴a＝4. 2 8．若不等式－x＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案 a≥1 解析 ∵Δ＝4－4a≤0，∴a≥1. 9．若全集I＝R，f(x)、g(x)均为x的二次函数，P＝{x|f(x)<0}，Q＝{x|g(x)≥0}， ?，?fx则不等式组?的解集可用P、Q表示为________． x答案 P∩?IQ 解析 ∵g(x)≥0的解集为Q， 所以g(x)<0的解集为?IQ， ?，?fx因此?的解集为P∩?IQ. ?gx? 2 10．如果A＝{x|ax－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围为________． 答案 0≤a≤4 ??a>02 解析 a＝0时，A＝?；当a≠0时，A＝??ax－ax＋1≥0恒成立?? ??g ?Δ≤0? ?0 综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤4. 三、解答题 11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按 5 耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损 2 失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t%应在什么范围内变动？ 解 由题意可列不等式如下： ?20－5t?·24 000·t%≥9 000?3≤t≤5. ??2?? 所以t%应控制在3%到5%范围内． 2??x－x－2>0， 12．关于x的不等式组?2的整数解的集合为{－2}，求实数k?2x＋k＋x＋5k<0? 的取值范围． 2 解 由x－x－2>0，可得x<－1或x>2. 2 ?x－x－2>0，?∵?2的整数解的集合为{－2}， ?2x＋k＋x＋5k<0? 52 方程2x＋(2k＋5)x＋5k＝0的两根为－k与－， 2 5 ①若－k<－，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}； 25 ②若－<－k，则应有－2<－k≤3， 2 ∴－3≤k<2. 综上，所求的k的取值范围为－3≤k<2. 【能力提升】 2222 13．已知x1、x2是方程x－(k－2)x＋k＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则x1＋x2的最大值为( ) 50 A．18 B．19 C. D．不存在 9 答案 A 解析 由已知方程有两实数根得，Δ≥0， 22 即(k－2)－4(k＋3k＋5)≥0. 4 解得－4≤k≤－， 3 2222 又x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝－(k＋5)＋19， 22 ∴当k＝－4时，x1＋x2有最大值，最大值为18. 2 14．已知不等式x＋px＋1>2x＋p. (1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围； (2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围． 2 解 (1)不等式化为(x－1)p＋x－2x＋1>0， 2 令f(p)＝(x－1)p＋x－2x＋1， 则f(p)的图象是一条直线．又∵|p|≤2， ?，?f－ ∴－2≤p≤2，于是得：? ??f??即??? 2 x－x－ － 2 ＋x－2x＋1>0， 2 ＋x－2x＋1>0. ??x－4x＋3>0，即?2 ??x－1>0. ∴x>3或x<－1. 故x的取值范围是x>3或x<－1. 2 (2)不等式可化为(x－1)p>－x＋2x－1， ∵2≤x≤4，∴x－1>0. 2 －x＋2x－1∴p>＝1－x. x－1 由于不等式当2≤x≤4时恒成立， ∴p>(1－x)max.而2≤x≤4， ∴(1－x)max＝－1，于是p>－1. 故p的取值范围是p>－1. 1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零． 2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高中数学必修五第三章《不等式》导学案及章节检测(3)在线全文阅读。
相关推荐：