高中数学必修五第三章《不等式》导学案及章节检测(4)

3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

课时目标

1．了解二元一次不等式表示的平面区域．

2．会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．

1．二元一次不等式(组)的概念

含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 2．二元一次不等式表示的平面区域

在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．

不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定 (1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同． (2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

一、选择题

1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )

y≥－2??

A.?3x－2y＋6>0??x<0y>－2??

C.?3x－2y＋6>0??x≤0

y≥－2??

B.?3x－2y＋6≥0

??x≤0y>－2??

D.?3x－2y＋6<0

??x<0

答案 C

解析 可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C正确．

2．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( ) A．(－1,6) B．(－6,1)

C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案 A

解析 由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0， 即(a＋1)(a－6)<0，∴－1

3．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )

答案 B

解析 不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组

??x－y>0，(Ⅰ)?

?x＋2y－2>0?

或不等式组(Ⅱ)?

?x－y<0，?

??x＋2y－2<0.

分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再

求并集，可得正确答案为B.

4x＋3y≤12，??

4．不等式组?x－y>－1，

??y≥0

表示的平面区域内整点的个数是( )

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

答案 C

解析 画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．

x＋y≥0，??

5．在平面直角坐标系中，不等式组?x－y＋4≥0，

??x≤a面积是9，那么实数a的值为( )

A．32＋2 B．－32＋2 C．－5 D．1 答案 D

(a为常数)表示的平面区域的

解析 区域如图，

易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)， C(a，－a)．

1

S△ABC＝|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，由题意得a＝1.

2

x≥0，??

6．若不等式组?x＋3y≥4，

??3x＋y≤4

4

所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两

3

部分，则k的值是( )

7343A. B. C. D. 3734答案 A

解析 不等式组表示的平面区域如图所示．

44?4?由于直线y＝kx＋过定点?0，?.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平33?3?

面区域．

?15?因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M?，?. ?22?

45k4?15?当y＝kx＋过点?，?时，＝＋， 3223?22?7

所以k＝.

3

二、填空题

7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．

x＋2y－1≥0??

答案 ?x－y＋2≥0

??2x＋y－5≤0

解析

如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)． 直线AC的方程为2x＋y－5＝0， 直线BC的方程为x－y＋2＝0， 把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0， ∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.

x＋2y－1≥0??

∴同理可得△ABC区域(含边界)为?x－y＋2≥0

??2x＋y－5≤0

.

8．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．

答案 6

x∈N??

解析 由题意点(x，y)的坐标应满足?y∈N

??x＋y≤2

(2,0)(0,1)(0,2)(1,1)6个．

，由图可知，整数点有(0,0)，(1,0)，

9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________．

答案 －1

解析 根据题意，分以下两种情况：

①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．

??a>0则???a＋1≤0

.无解．

②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内， ??a≤0则?，∴－10?

综上所述，－1

x≤0，??

10．若A为不等式组?y≥0，

??y－x≤2

表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，

动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．

7答案 4解析

如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．

又D(0,1)，B(0,2)， ?13?E?－，?，C(－2,0)． ?22?

17

S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.

44

三、解答题

x≥3??

11．利用平面区域求不等式组?y≥2

??6x＋7y≤50

的整数解．

解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．

32

把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤，又∵y≥2，

7

∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)； 把x＝4代入6x＋7y≤50，

26得y≤，

7

∴整点有：(4,2)(4,3)．

20

把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤，

7

∴整点有：(5,2)；

把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；

8

把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．

7

∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．

22

12．若直线y＝kx＋1与圆x＋y＋kx＋my－4＝0相交于P、Q两点，且P、Q关于直线

kx－y＋1≥0??

x＋y＝0对称，则不等式组?kx－my≤0

??y≥0

m表示的平面区域的面积是多少？

解 P、Q关于直线x＋y＝0对称，故PQ与直线x＋y＝0垂直，直线PQ即是直线y＝kx＋1，故k＝1；

22

又线段PQ为圆x＋y＋kx＋my－4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线x＋y＝0，又圆心为(－，－)，

22

∴m＝－k＝－1，

kx－y＋1≥0??

∴不等式组为?x＋y≤0

??y≥0

，

1111

它表示的区域如图所示，直线x－y＋1＝0与x＋y＝0的交点为(－，)，∴S△＝×1×2222

11＝.故面积为. 44能力提升

x＋y－11≥0，??

13．设不等式组?3x－y＋3≥0，

??5x－3y＋9≤0

表示的平面区域为D.若指数函数y＝a的图象上

x存在区域D上的点，则a的取值范围是( )

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