高中数学巧构造，妙解题(8)

这是求函数最值中比较复杂的一类问题，它往往与恒成立问题有联系，换元与整体思维在解决问题的过程中起主导作用，通过对以下两个问题的探讨，我们可以从中发现解决这类题目的方法规律。

例1. 若不等式22x?2x?1?t?1?0对一切实数x都成立，求实数t的最大值。 解：原不等式可化为t?(2?1)?2 令a?2，f(a)?(a?1)?2(a?0) 则f(a)的值域为(?1，??)

x2x2?t??1时原不等式对x?R都成立，故t的最大值是?1

注：t?f(x)恒成立，应考虑f(x)的最小值，而t?f(x)恒成立应考虑f(x)的最大值。

例2. 已知a?b?c，求实数m的最大值，使不等式立。

解：将m与a，b，c分离并整理得m?11m???0总能成a?bb?cc?aa?ca?c。 ?a?bb?c要使此不等式成立，只需m不大于右边式子的最小值。

?a?b?0，b?c?0a?b?b?ca?b?b?c?a?bb?cb?ca?bb?ca?b?2???2?22?4

a?bb?ca?bb?c?m?4可使原不等式当a?b?c时恒成立右边?m的最大值是4练一练

已知对任意实数x，二次函数f(x)?ax?bx?c恒非负，且a?b，求小值。

答案与提示：令

2a?b?c的最

b?ab?t?1 at2a?b?ca?at?4a4?4t?t21?9?则????(t?1)??6??3

b?aat?a4(t?1)4?t?1?用待定系数法求三角函数最值

用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻

意凑出的条件，从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，这确实既“活”又“巧”，对此问题，现利用待定系数法探析。

例1. 设x∈（0，π），求函数y?sinx2的最小值。 ?2sinx分析：拿到此题，很容易想到下面的解法。 因为 sinx＞0，

所以y?sinx2sinx2??2??2。 2sinx2sinx故ymin=2。

显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由得sinx=2，这样的x不存在，故为错解。

事实上，此题是可以用均值不等式来解答的，但需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，

又能使“=”号成立，这确实是一个难点，笔者认为，待定系数法就能很好地解决这个问题，为此，先引入一个待定系数λ（0＜λ＜2，使y?sinx2?2sinxsinx?2??。由均值不等式及正??2sinxsinx弦函数的有界性，得y?2sinx?2?????2??2??。 2sinxsinx当且仅当

sinx?115且sinx=1，即λ=时，上式等号成立。将λ=代入，得ymin=。 ?2222sinx14(sinx?)。 2sinx14145（0，1]上单调递减，所以ymin?(1?)?。 (t?)在

2122t另解：y=

令sinx=t(0＜t≤1＝，易证y?例2. 当x∈(0，

632?)时，求函数y?的最小值。 ?sinxcosx2分析：因为x∈(0，

?)，所以sinx＞0，cosx＞0，引入大于零的待定系数k，则函数2y?632333311可变形为y?+kcos2x－k≥???ksi2nx??sinxcosxsixnsixncoxscoxs3?2?33sinx?2??ksinx,3?k2?sinx?333，即?327k+3k－k=12k?k，等号成立当且仅当?，时

1?1?kcos2x?cos2x?3???cosxk2?成立。由sin2x+cos2x=1,。得

3?13k2?1，即k2=64，又k＞0，所以k=8。故函数y的最小值为

123k?k?12?2?8?16，此时x=

例3. 设x∈(0，

?。 31?)，求函数y=sinx+的最小值。 2sin2x1sinxsinx1?分析：因为x∈(0，)，所以sinx＞0，y=sinx+可变形为。y???22222sinxsinx由均值不等式得

sinx1sinxsinx113。但，故上式不能取等号。下面???3?222242sinxsinx引入待定系数k进行配凑解之。

解：因为x∈(0，所以sinx＞0。 因为

?)， 21k1?k??,0＜k＜1， sin2xsin2xsin2xsinxsinxk1?k ??)?2222sinxsinx故y?(≥33k1?k， ?41等号当且仅当

sinxkk1?k13且sinx=1，即k=时等号同时成立。从而3??2，?4122sin2x故函数y=sinx+

1的最小值为2。 2sinx1的最小值。

sin2x?cos2x例4. 求函数y=sin2x2cos2x+

sin22x4sin22x4分析：易得y?，由均值不等式得???2。 2244sin2xsin2xsin22x4但，故上式不能取等号。于是引入待定正实数λ，μ，且λ+μ=4，?4sin22xsin22x4则有y? ?24sin2xsin22x??= ??4sin22xsin22xsin22x????≥2 224sin2xsin2x≥???。

sin22x?1152

当且仅当且sin2x=1时等号同时成立，此时，所以当???，??2444sin2xsin22x=1时，y有最小值为

17。 4用放缩法证明不等式

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。

一. “添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1＜a＋b＜4。 3证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜

1（a＋b）2，而（a＋b）2＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b）2，即3（a4444，故有1＜a＋b＜4。

33＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜

例2. 已知a、b、c不全为零，求证：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞3（a?b?c）

2证明：因为a2?ab?b2?22（a?b）?3b2＞（a?b）?a?b≥a?b，同

42222理b2?bc?c2＞b?c，c2?ac?a2＞c?a。

223（a?b?c）

2所以a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ac?a2＞二. 分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜a＋b＋c＜2。 b?ca?ca?b证明：由于a、b、c为正数，所以

ba＞ab＞，，b?ca?b?ca?ca?b?ca＋b＋c＞c＞cabc，所以＋＋＝1，

b?ca?ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca?ba?ba?b?c又a，b，c为三角形的边，故b+c＞a，则

a为真分数，则a＜2a，同理

b?ca?b?cb?cb＜2b，c＜2c，

a?ca?b?ca?ba?b?c故

a＋b＋c＜2a＋2b＋2c?2.

b?ca?ca?b?ca?b?ca?b?ca?ba＋b＋c＜2。

b?ca?ca?b综合得1＜三. 裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n∈N*，求1?12?13???1n＜2n。

证明：因为

1n?2n?n＜2n?n?1?2（n?n?1），则1?12?13?

??，证毕。

1n＜1?2（2?1）?2（3?2）???2（n?n?1）?2n?1＜2nn(n?1)(n?1)2例5. 已知n?N且an?1?2?2?3???n(n?1)，求证：?an?22*

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