v2q2所以ks? ?ks?v?pq?p当且仅当v=q时等号成立，即当v=q时，全程燃料费用最小。
综上知，为使全程燃料费用最小，当2p?q时，船的实际前进速度为p；当2p>q时，
船的实际前进速度应为q?p。
例3 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
（I）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解：（I）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
s，全程运输成本为 vssay?a??bv2??s(?bv)
vvv故所求函数及其定义域为：
ay?s?(?bv)，v?(0，v]
v（II）依题意知s，a，b，v都为正数，故有s(a?bv)?2sab v当且仅当
a?bv，即v?va时上式中等号成立 b若
a?c，则当v?ba时上式中等号成立 b若
a?c，当v?(0，c]时，有 baas(?bv)?s(?bc) vcaa?s[(?)?(bv?bc)]vc
s?(c?v)(a?bcv)vc因为c?v?0，且a?bc，故有a?bcv?a?bc2?0 所以s(最小。
2aa?bv)?s(?bc)，且仅当v=c时等号成立。也即当v=c时，全程运输成本yvc综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为v=c。
ababab；当?c时行驶速度应为v??cbbb一招通解“二面角”和“点到平面的距离”
求“二面角”与“点到平面的距离”问题一直是高考命题的热点，而这两方面的题目
又是很多学生感到头痛的。事实上，这两类问题有着较强的相关性，下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式，让你一招通解两类问题，
定理：如下图，若锐二面角??CD??的大小为?，点A为平面?内一点，若点A到二面角棱CD的距离为AB?m，点A到平面?的距离AH=d，则有d?m?sin?。
说明：d?m?sin?中含有3个参数，已知其中任意2个可求第3个值。其中?是指二面角??CD??的大小，d表示点A到平面?的距离，m表示点A到二面角??CD??棱CD的距离。值得指出的是：d?m?sin?可用来求解点到平面的距离，也可用于求解相关的二面角大小问题。其优点在于应用它并不强求作出经过点A的二面角??CD??的平．．．面角∠ABH，而只需已知点A到二面角??CD??棱的距离，与二面角大小?，即可求解点A到平面?的距离，或已知两种“距离”即可求二面角的大小?。这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证，简缩了解题过程。还要注意，当已知点A到平面?的距离d与点A到二面角棱CD的距离m求解二面角的大小时，若所求二面角为锐二面角，则有
??arcsindd；若所求二面角为钝二面角，则????arcsin mm下面举例说明该公式在解题中的应用。
例1. （2004年全国卷I理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD，PB⊥AD，侧面PAD
为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。
分析：如上图，作PO⊥平面ABCD，垂足为O，即PO为点P到平面ABCD距离。第（1）问要求解距离PO，只需求出点P到二面角P-AD-O的棱AD的距离，及二面角P-AD-O的大小即可。第（2）问要求解二面角A-PB-C的大小，只需求出点C到二面角A-PB-C棱PB的距离及点C到半平面APB的距离即可。
解：（1）如上图，取AD的中点E，连结PE。由题意，PE⊥AD，即m?PE?3。
?又二面角P-AD-O与二面角P-AD-B互补，所以二面角P-AD-O的大小为60°，即?60?。于是由公式d?m?sin?知：点P到平面ABCD的距离为
PO?m?sin??3?sin60??3。 2（2）设所求二面角A-PB-C的大小为?，点C到平面PAB的距离为d。
连接BE，则BE⊥AD（三垂线定理），AD⊥平面PEB，因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB，BC⊥PB，即点C到二面角棱PB的距离为2，即m=2。
又因为PE=BE=3，∠PEB=120°，所以在ΔPEB中，由余弦定理可求得PB=3。 取PB的中点F，连结AF，因为PA=AB=2，则AF⊥PB，BF?AF?AB2?BF2?13PB?，所以22137，即S?PAB?PB?AF?2243。 27。又易求得S?ABC?3，点P到平
面ABC的距离：PO?根据等体积法VP?ABC?VC?PAB，有
11?PO?S?ABC??d?S?PAB， 33即
22133，代入公式 ?3?d?7，所以d?724d21。 ?m7d?m?sin?,sin??又由于面PBC⊥面PEB，所以所求二面角A-PB-C为钝二面角，所以????arcsind m点评：对于这个高考试题，许多考生反映第（2）问求解困难，失分较为严重。究其原因有二：一是不能正确地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角时存在计算障碍。
利用公式d?m?sin?求解，省去了许多繁难的作图过程与逻辑论证，其优势显而易见。 例2. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
分析：欲求点B到平面GEF的距离，直接求解较困难。为此我们令平面GEF作为某二面角的一个半平面，当然二面角的另一个半平面即为平面BEF，为此我们只需找到该二面角的平面角及点B到二面角棱EF的距离即可。
解：如下图，过B作BP⊥EF，交EF的延长线于P，连结AC交EF于H，连结GH，易证∠GHC就是二面角G-EF-C的平面角。
又BP?AH?2，这就是点B到二面角C-EF-G棱EF的距离m?2
因为GC=2，AC?42，所以CH?32，GH=22，在RtΔGCH中，
sin?GHC?222，于是由d?m?sin?得所求点B到平面GEF的距离：
d?BP?sin?GHC?2?222?211。 11例3. 已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC?22，且AA1⊥A1C，AA1=A1C。求顶点C与侧面A1ABB1的距离。 分析：如下图所示，解答好本题的关键是找到底面ABC的垂线A1D，找到了底面的垂线A1D，就可根据三垂线定理，作出侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的平面角A1DE，求出二面角A1-AB-C的平面角大小，就可依据公式d?m?sin?找到点D到平面A1ABB1的距离d，进而根据D为AC中点，也就不难求出点C到侧面A1ABB1的距离。
解：如上图，在侧面A1ACC1内，作A1D⊥AC，垂足为D，因为AA1=A1C，所以D为AC的中点。又因为AA1⊥A1C，AC?23，A1D=AD=3。
因为侧面A1ACC1⊥底面ABC，其交线为AC，所以A1D⊥面ABC。
过D作DE⊥AB，垂足为E，连接A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB（三垂线定理），所以∠A1ED为侧面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC，又D是AC的中点，BC=2，所以DE=1，
tan?A1ED?A1D?3，故∠A1ED=60°。 DE于是由公式d?m?sin?知，点D到侧面A1ABB1的距离 d?DE?sin60??1?33。 ?22又点D为AC的中点，故而点C到侧面A1ABB1的距离为点D到侧面A1ABB1距离的2倍，于是知点C到侧面A1ABB1的距离为3。
点评：本例先通过求侧面A1ABB1与面ABC所成二面角的大小，进而利用公式
d?m?sin?求出点D到侧面A1ABB1的距离，再利用中点D的性质巧妙地求得C到侧面A1ABB1的距离，充分体现了转化与化归的思想方法在解题中的灵活运用。
隐含在不等式中的最值问题
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