高中数学巧构造，妙解题(2)

因此有log16x?1，解得0?x?16

点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。

拓展训练：解不等式(5x?3)?x?6x?3?0。（答：x??五. 巧证不等式

331） 2am?n?bm?nam?bman?bn例5. 设a?0，b?0，m?0，n?0，求证。 ?2222am?n?bm?nam?bman?bn证明：当m，n中至少有一个为0时，则有，结论成?2222立。

设m?0，n?0

因为y?x(??0)在(0，??)上单调递增

所以am?bm与a?b必同号，或同为0（当且仅当a?b时） 从而(a?b)(a?b)?0

mmnn?nn?am?n?bm?n?ambn?anbmam?n?bm?nam?bman?bn

??2222因此，原不等式成立（当且仅当a?b或m?0，或n?0时取“=”号）。 点评：原不等式等价于a?m?n?bm?n?ambn?anbm?(am?bm)(an?bn)?0，这可由

幂函数y?x(??0)在(0，??)上递增而得到。

sin2?cos2?本题可拓展：令m?sin?，n?cos?，则a?b?a六. 巧解恒成立问题

22b?acos?bsin22?。

1?2x?3xa例6. 已知函数f(x)?lg对区间??，1上的一切x值恒有意义，求a的

3??取值范围。

1?2x?3xa解：依题意，?0

3对??，1上任意x的值恒成立

xx???1??2?整理为a???????对??，1上任意x的值恒成立。

?3??3????1??2?设g(x)???????，只需a?g(x)max

?3??3?而g(x)在??，1上是增函数

xx??则g(x)max?g(1)??1 所以a??1 七. 巧建不等关系

例7. 给定抛物线C：y?4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两

2??点，设FB??AF。若??4，9，求l在y轴上的截距的变化范围。

??解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)

??由FB??AF，得

?x2?1??(1?x1)??y2???y12??y1?4x1又?2??y2?4x2(1)(2)(3)(4)

联立（1）（2）（3）（4），解得x2?? 所以B(?，2?)或(?，?2?)

所以l的方程为(??1)y?2?(x?1)或(??1)y??2?(x?1)

当y?4，9时，l在y轴的截距为

??2??2?或 ??1??1令f(?)?2?，则 ??1??1?1???2???0

f'(?)???(??1)2(??1)2所以f(?)在［4，9］上是减函数

故

32?44?2?3??或???? 4??133??14所以直线l在y轴上截距的取值范围是：

3??34??4?，???，? ??4??43??3八. 巧解数列问题

例8. 已知数列?bn?是等差数列，b1?1，b1?b2???b10?145。 （1）求数列?bn?的通项公式；

（2）设数列?an?的通项an?loga(1?1)(a?0，且a?1)，Sn是数列?an?的前nbn项和，试比较Sn与logabn?1的大小，并证明你的结论。

解：（1）由b1?b2???b10?145，b1?1 有10b1?得d?3

1310?9d?145 2因此bn?b1?(n?1)3?3n?2

（2）Sn?loga(1?1)?loga?1?????loga?1???1?4???1?? 3n?2????loga?(1?1)?1???1??1?????1?? 4??3n?2???1logabn?1?loga33n?1 31??1??(1?1)?1????1???4??3n?2?设f(n)?（n为正整数） 33n?11??1??1?3?(1?1)?1????1???1??3n?1?f(n?1)4??3n?2??3n?1?则?1??1?3f(n)?(1?1)?1????1??3n?4 ?4??3n?2??327n3?54n2?36n?8?127n3?54n2?27n?4所以f(n?1)?f(n)

即f(n)在n?N上是递增的

*从而f(n)?f(1)?2?1 341?3*??3n?1(n?N) 3n?2?即(1?1)?1????1???1?4???所以当a?1时，Sn?当0?a?1时，Sn?1logabn?1 31logabn?1 3巧用函数思想解数列题

从函数观点看，数列是定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，3，?，n}上的函数，

当自变量从小到大取值时相应的一列函数值，因此，用函数思想解数列题，思路自然，方法简捷。

1. 利用周期性解题

例1. 在数列{an}中，已知a1?1，a2?5，an?2?an?1?an(n?N*)，则a2002等于（ ） A. －1

B. －5

C. 1

D. 5

解：因为an?2?an?1?an(n?N*) 所以an?3?an?2?an?1 两式相加，得an?3??an 从而有an?6??an?3?an

即{an}是周期为6的数列，所以a2002?a6?333?4?a4??a1??1 选A

2. 利用单调性解题

1111例2. 设n?N*，且n>1，求证(1?)(1?)(1?)?(1?)?3572n?12n?1 21111(1?)(1?)(1?)?(1?)3572n?1证明：令an?(n?2,3,?)

2n?11111(1?)(1?)?(1?)(1?)352n?12n?1 ?2n?3(1?1)2n?12n?1 2n?3?2(n?1)4(n?1)?12则an?1于是

an?1?an?2n?2(2n?1)(2n?3)?1

所以an?1?an

即an是n的单调递增函数，其中n＝2，3，4，?

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