高中数学巧构造，妙解题(4)

直线M1M2的方程为y?y1?y2xx?x2??0(x?1)。 2y02即x0x?y0y?x0(x1?x2)y0(y1?y2) （*） ?2222又由命题1得，PM1方程为x1x?y1y?r,PM2方程为x2x?y2y?r。

2??x1x0?y1y0?r,由P?PM1,P?PM2，可得? 2??x2x0?y2y0?r?x0(x1?x2)y0(y1?y2)??r2

222代入（*）式得，切点弦M1M2所在直线方程为x0x?y0y?r。

对同一个问题从不同的角度去摸索和思考，这对提高我们分析问题和解决问题的能力是

很有好处的。

求圆锥曲线离心率“四法”

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。

一. 直接求出a、c，求解e

已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e?c来求解。 a例1. 过双曲线M：x?2y2b2?1(b?0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线

M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）

A. 10

B.

5 C.

10 3 D.

5 2分析：这里的a?1，c?b2?1，故关键是求出b2，即可利用定义求解。

解：易知A（-1，0），则直线l的方程为y?x?1。直线与两条渐近线y??bx和y?bx的交点分别为B(?故有e?1b1b,)、C(,)，又|AB|=|BC|，可解得b2?9，则c?10b?1b?1b?1b?1c?10，从而选A。 a

二. 变用公式，整体求出e

x2y24例2. 已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程为y?x，则双曲线的离

3ab心率为（ ）

A.

5 3 B.

4 3 C.

5 4 D.

3 2分析：本题已知

b4?，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。 a3ca2?b2a2?b2b22??1??1?k解：由e??（其中k为渐近线的斜率）。

aaa2a2这里

c45b4?，则e??1?()2?，从而选A。

a33a3三. 统一定义法

由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的

距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ）

A.

2 B.

2 2 C.

1 2 D.

2 4解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则MF?x轴，知|MF|是通径的一半，则有|MF|?2|MF|2。由圆锥曲线统一定义，得离心率e?，从而选B。 ?2d2四. 构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的

方程，通过解方程得出离心率e的值。

x2y2例4. 已知F1、F2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两焦点，以线段F1F2为边作正

ab?MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 4?23

B.

3?1 C.

3?1 2 D. 3?1

解：如图，设|OF则点P的横坐标为?1|?c,MF1的中点为P，由焦半径公式|PF1|??exp?a，即c??c1，由|PF1|?|F1F2|?c，

22cc?(?)?a，得c2?2a2?2ac?0，有a2，故选D。 e2?2e?2?0，解得e?1?3,e?1?3（舍去）

练一练

设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若?F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）

A.

2 2 B.

2?1 2 C. 2?2 D. 2?1

参考答案：D

三角函数求最值的归类研究

求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。

一、化成y?Asin(?x??)的形式

例1. 在直角三角形中，两锐角为A和B，求sinAsinB的最大值。 解：sinAsinB?sinAsin(由0?A??2?A)?sinAcosA?1sin2A 21。 2?2，得0?2A??，则当A??4时，sinAsinB有最大值

例2. 求函数f(x)?cosx?2sinxcosx?sinx在?0，?上的最大值和最小值。 解：

44????2?f(x)?cos4x?2sinxcosx?sin4x?(cosx?sinx)(cosx?sinx)?sin2x2222

?cos2x?sin2x??2sin(2x??

4)由0?x??2，得??4?2x??4?3?2?，??sin(2x?)?1， 424得?2??2sin(2x??4)?1，

3?时，f(x)min??2 8则当x=0时，f(x)max?1；当x?［点评］这类题目解决的思路是把问题化归为f(x)?Asin(?x??)?k的形式，一般而言，f(x)max?|A|?k，f(x)min??|A|?k，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决。

例2中，令u?2x??4，画出sinu在????3??， ，?上的图象（如图1）

?44?

图1

不难看出?22??sin(2x?)?1。 ?sinu?1，即?242应注意此题容易把两个边界的函数值f()和f(0)误认为是最大值和最小值。

?2二、形如y?ccosx?d的形式

asinx?b例3. 求函数y?sinx?1的最大值和最小值。

cosx?2解：由已知得ycosx?2y?sinx?1，

2即sinx?ycosx?1?2y，y?1?sin(x??)?1?2y，

所以sin(x??)?1?2yy?12

因|sin(x??)|?1，1?2yy?12?1，

4， 3即3y?4y?0，解得0?y?故ymax?24，ymin?0 3［点评］上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。有兴趣的同学不妨试一试其他解法。

三、形如y?csinx?d的形式

asinx?b3?2sinx的最大值和最小值。

sinx?2例4. 求函数y?解：y?3?2sinx2sinx?32(sinx?2)?11???????2

sinx?2sinx?2sinx?2sinx?211??，

sinx?23由?1?sinx?1，得?3?sinx?2??1，?1?1151???1，即????2??1 3sinx?23sinx?25?ymax??1，ymin??

3［点评］此题是利用了分离分母的方法求解的。若用例3的解法同样可求，有兴趣的同学不妨试一下，并作解法对比。

四、形如y?sinx?a的形式 sinx

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