高中数学巧构造，妙解题

巧构造 妙解题

1. 直接构造 例1. 求函数f(x)?3?sinx的值域。

2?cosx3?sinx可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，

2?cosx故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。

分析：由于f(x)?解：令???cosx，??sinx，则?2??2?1表示单位圆

3???k表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（?，?）所得直线2????k??(3?2k)?0的斜率。

f(x)?显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即

|3?2k|1?k2?1

所以k?2?23 3故2?2323 ?f(x)?2?33例2. 已知三条不同的直线xsin3??ysin??a，xsin3??ysin??a，

xsin3??ysin??a共点，求sin??sin??sin?的值。

分析：由条件知sin?，sin?，sin?为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。

解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程msin3??nsin??a，即

4msin3??(n?3m)sin??a?0（*）

由条件知，sin?，sin?，sin?均为关于sin?的一元三次方程（*）的根。

由韦达定理知sin??sin??sin??0 2. 由条件入手构造

例3. 已知实数x，y，z满足x?6?y，z2?xy?9，求证：x?y

分析：由已知得x?y?6，xy?z2?9，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。

解：构造一元二次方程p2?6p?z2?9?0 其中x，y为方程的两实根 所以??36?4(z2?9)?0

即z2?9?9

z2?0，z?0

故△＝0，即x?y 3. 由结论入手构造

例4. 求证：若n?3，n?N，则

11111 ??????333312345n分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。

11111??[?] k3(k?1)k(k?1)2(k?1)kk(k?1)所以左边?111 ????2?3?43?4?5(n?1)n(n?1)1111111?[???????] 22?33?43?44?5(n?1)nn(n?1)1111?[?]? 22?3n(n?1)12故原式得证。

例5. 已知实数x，y满足0?x?y?z??2，求证：

?2?2sinxcosy?2sinycosz?sin2x?sin2y?sin2z

分析：要证原式成立，即证

?4?sinxcosy?sinycosz?sinxcosx?sinycosy?sinzcosz

即证

?4?sinx(cosx?cosy)?siny(cosy?cosz)?sinzcosz

由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和S1?S2?S3，而

1?单位圆的面积为，所以 44

?4?sinx(cosx?cosy)?siny(cosy?cosz)?sinzcosz

故结论成立。

巧用函数单调性妙解数学题

函数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。

一. 巧求代数式的值

例1. 已知(x?2y)?x?2x?2y?0，求(x?y)55552007的值。

解：已知条件可化为(x?2y)?(x?2y)?(?x)?(?x)

5设f(x)?x?x，则f(x?2y)?f(?x)

5而f(x)?x?x在R上是增函数 则有x?2y??x，即x?y?0 所以(x?y)2007?0

点评：本题关键是将条件转化为(x?2y)?(x?2y)?(?x)?(?x)，再构造相应函数f(x)?x?x，利用单调性求解。

拓展练习：已知方程x?3x?3的根为α，方程x?log3x?3的根为β，求α+β的值。（答案：????3）

二. 妙解方程 例2. 解方程4?7?xx55565x

解：易见x=2是方程的一个解

?4??7?原方程可化为??????1

?65??65??4??4?而f(x)??（因为????(0，1)）

?65??65??7?在R上是减函数，g(x)???同样在R上是减函数

?65??4??7??因此f(x)?g(x)?????在R上是减函数

?65??65??4??7??4??7?由此知：当x?2时，????????????1

?65??65??65??65??4??7??4??7???当x?2时，??????????1

?65??65??65??65?这说明x?2与x?2的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解x?2。 拓展训练：解方程5?1?2(2?2)。（答：x?2）

点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解x0，然后等价转化为

xxxxx22xx22xxxxxxxf(x)?a(a为常数)的形式，最后根据f(x)的单调性得出原方程的解的结论。

三. 妙求函数的值域

cos2x?6cosx?10例3. 求函数y?(0?x??)的值域。

3?cosx解：令cosx?t，则

y?f(t)?t?3?1 t?3因为0?x??，所以?1?t?1 而f(t)在t??1，1内递增

??所以f(?1)?f(t)?f(1)

又f(?1)?517 ，f(1)?24而

517?f(x)? 24?5?217?为所求原函数的值域。 ?4?所以?，四. 巧解不等式 例4. 解不等式log5(1?x)?log16x

5t解：设t?log16x，则x?16，x?4 原不等式可化为log5(1?4t)?t

?1??4?tt则1?4?5，即??????1

?5??5??1??4?设f(t)??????

?5??5?显然f(t)是R上的减函数，且1?f(1)，那么不等式

tttt即f(t)?f(1)?t?1

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