（II）同理可得直线l的方程为x﹣2y+2=0，斜率为，由（I）可得椭圆C的右焦点为（4，0），可得点斜式方程，化为一般式即可． 【解答】解：（I）∵椭圆C的参数方程∴cosφ=，sinφ=，∵cos2φ+sin2φ=1，
（φ为参数），
∴（）2+（）2=1，即；
（II）同理消去参数t可得直线l的方程为：x﹣2y+2=0，l的斜率为， 由（I）可得椭圆C的右焦点为（4，0）， ∴所求直线方程为y=（x﹣4），即x﹣2y﹣4=0．
【点评】本题考查椭圆的参数方程，涉及直线的方程的求解，属基础题．
18．（16分）设椭圆E的方程为
+
=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），
点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；
（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质． 【专题】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（I）由于点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，即
，可得
．利
用，可得．
（II）由（I）可得直线AB的方程为：线AB的对称点为S可．
=1，利用中点坐标公式可得N．设点N关于直
，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，可得b，解得即
【解答】解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，
∵A（a，0），B（0，b），∴∵
，∴
，a=
b．
=．
∴=．
（II）由（I）可得直线AB的方程为：设点N关于直线AB的对称点为S
=1，N
，线段NS的中点T
．
，
又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，
∴a=3．
．
∴椭圆E的方程为：
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．（16分）已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为
，点M在
椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=（Ⅰ）求直线FM的斜率； （Ⅱ）求椭圆的方程；
截得的线段的长为c，|FM|=．
（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于围．
，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）通过离心率为
，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），
利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；
（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=计算即可；
（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可结论． 【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为∴2a=3b，∴a=3c，b=2c，
设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c）， ∵直线FM被圆x+y=
2
2
2
2
2
2
2
2
，∴==，
截得的线段的长为c，
∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，
∴d2+=，即（）2+=，
解得k=，即直线FM的斜率为；
（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），
联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c， ∵点M在第一象限，∴M（c，∵|FM|=
，∴
2
2
2
2
c），
=
，
解得c=1，∴a=3c=3，b=2c=2， 即椭圆的方程为
+
=1；
（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t， ∵F（﹣1，0），∴t=
，即y=t（x+1）（x≠﹣1），
联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，
又∵直线FP的斜率大于，
∴＞，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，
设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），
联立方程组，消去y并整理，得m=
2
﹣．
①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，
∴m=，∴m∈（，）；
②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0， ∴m=﹣
，∴m∈（﹣∞，﹣
）；
综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．
20．（16分）已知直线l为函数y=x+b的图象，曲线C为二次函数y=（x﹣1）+2的图象，直线l与曲线C交于不同两点A，B （Ⅰ）当b=7时，求弦AB的长； （Ⅱ）求线段AB中点的轨迹方程；
（Ⅲ）试利用抛物线的定义证明：曲线C为抛物线． 【考点】轨迹方程．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）当b=7时，直线y=x+7代入y=（x﹣1）2+2，求出A，B的坐标，即可求弦AB的长；
（Ⅱ）把y=x+b代入y=（x﹣1）2+2，利用韦达定理，即可求线段AB中点的轨迹方程； （Ⅲ）证明：曲线C上的任一点M到点（1，）与到直线y=的距离相等，即可确定曲线C为抛物线．
2
【解答】解：（I）把直线y=x+7代入y=（x﹣1）2+2，得即 A（﹣1，6），B（4，11），所以|AB|=5
；?
或，
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y） 把y=x+b代入y=（x﹣1）+2，得x﹣3x+3﹣b=0? 由韦达定理x1+x2=3，△=3﹣4（3﹣b）＞0，b＞
22
2
所以，，?
所以线段AB中点的轨迹方程；?
（III）可以证明曲线C上的任一点M到点（1，）与到直线y=的距离相等． 或设曲线C上的任一点M（x，y）到点（1，m）的距离等于到直线y=n的距离，? 即
整理得（1﹣2m）y+m2﹣2=﹣2ny+n2， 所以
，解得m=，n=； ?（14分）
，又y=（x﹣1）2+2，
所以曲线C上的任一点M到点（1，）与到直线y=的距离相等． 所以曲线C是抛物线．?（16分）
【点评】本题考查抛物线的定义，考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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