江苏省泰州市姜堰区2015-2016学年高二数学上学期期中试卷 理（含(3)

形的面积公式，可得△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=24，再由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|），求得r，即可得到所求内切圆的面积． 【解答】解：∵椭圆

，

∴a2=49，b2=24，可得c2=a2﹣b2=25，即a=7，c=5， 设|PF1|=m，|PF2|=n，则有m+n=2a=14，m2+n2=（2c）2=100， 可得2mn=96，即mn=48， ∴|PF1|?|PF2|=48，

∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，

∴△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=×48=24，

由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=r?（2a+2c）=12r（r为内切圆的半径）， 由12r=24，解得r=2，则所求内切圆的面积为4π． 故答案为：4π．

【点评】本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识，属于基础题．

13．如图平面直角坐标系xOy中，椭圆

，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆

=．

A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】数形结合；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】连结A2P，可得△OPA2是边长为a的正三角形，由此算出PA1、PO的方程，联解求出点P的横坐标m=﹣1．由A2P与圆A1相切得到A2P⊥PA1，从而得到直线A2P的方程，将PA2的方程与椭圆方程联解算出Q点横坐标s=．由

=

，把前面算出的横坐标代入即可求

得的值．

【解答】解：连结PO、PA1，可得△POA1是边长为2的等边三角形， ∴∠PA1O=∠POA1=60°，可得直线PA1的斜率k1=tan60°=直线PO的斜率k2=tan120°=﹣因此直线PA1的方程为y=

，

x， ，

（x+2），直线PO的方程为y=﹣

设P（m，n），联解PO、PA1的方程可得m=﹣1． ∵圆A1与直线PA2相切于P点，

∴PA2⊥PA1，可得∠PA2O=90°﹣∠PA1O=30°， 直线PA2的斜率k=tan150°=﹣代入椭圆

，因此直线PA2的方程为y=﹣

2

（x﹣2），

，消去y，得x﹣x+=0，解之得x=2或x=．

∵直线PA2交椭圆于A2（2，0）与Q点，∴设Q（s，t），可得s=．

由此可得====．

故答案为：．

【点评】本题给出与椭圆相关的直线与圆相切的问题，求线段的比值．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．

14．已知f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3），g（x）=2﹣4．若同时满足条件： ①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0； ②?x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0， 则m的取值范围是（﹣5，﹣）． 【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】综合题；探究型；分类讨论；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．

【分析】由①可推得f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，建立关于m的不等式组可得m的范围，然后由②可得： ?x∈（﹣∞，﹣4），使（x﹣3m）（x+m+3）＜0成立，只要使﹣4比3m，﹣m﹣3中较小的一个大即可，分类讨论可得m的范围，综合可得答案． 【解答】解：∵g（x）=2﹣4，当x≥2时，g（x）≥0， 又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0

∴f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3）＜0在x≥2时恒成立，

∴二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（2，0）的左侧，

x

x

即，解得﹣5＜m＜0；

又∵?x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0． 而此时有g（x）=2x﹣4＜0．

∴?x∈（﹣∞，﹣4），使f（x）=m（x﹣3m）（x+m+3）＞0成立， 由于m＜0，∴?x∈（﹣∞，﹣4），使（x﹣3m）（x+m+3）＜0成立， 故只要使﹣4比3m，﹣m﹣3中较小的一个大即可，

当m∈（﹣，0）时，3m＞﹣m﹣3，只要﹣4＞﹣m﹣3，解得m＞1与m∈（﹣，0）的交集为空集；

当m=﹣时，两根为﹣2；﹣2＞﹣4，不符合；

当m∈（﹣5，﹣）时，3m＜﹣m﹣3，∴只要﹣4＞3m，解得m＜﹣， 综上可得m的取值范围是：（﹣5，﹣）． 故答案为：（﹣5，﹣）．

【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，指数函数的单调性及特殊点，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面，是中档题也是易错题．

二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（14分）已知a∈R，命题p：“?x∈，x﹣a≥0”，命题q：“?x∈R，x+2ax+2﹣a=0”． （Ⅰ）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围． 【考点】复合命题的真假．

【专题】计算题；函数思想；综合法；简易逻辑．

【分析】（I）由命题p为真命题，问题转化为求出x2min，从而求出a的范围；

（ II）由命题“p∧q”为假命题，得到p为假命题或q为假命题，通过讨论p，q的真假，从而求出a的范围．

【解答】解：（I）由命题p为真命题，a≤xmin，a≤1；

（ II）由命题“p∧q”为假命题，所以p为假命题或q为假命题， p为假命题时，由（I）a＞1；

q为假命题时△=4a2﹣4（2﹣a）＜0，﹣2＜a＜1， 综上：a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）．

【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题．

16．（14分）已知直线l经过点（4，0），且倾斜角为极点．

（Ⅰ）求l与M的极坐标方程； （Ⅱ）判断l与M的位置关系． 【考点】简单曲线的极坐标方程．

【专题】计算题；方程思想；数形结合法；坐标系和参数方程．

【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，分别在两直角三角形中求得l与M的极坐标方程； （Ⅱ）化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆M的圆心，由点到直线距离公式判断l与M的位置关系．

【解答】解：（Ⅰ）如图，

，圆M以

为圆心，过

22

2

设l上任一点P（ρ，θ），在△OAP中，由正弦定理（cosθ+sinθ）=4；

设圆M上任一点Q（ρ，θ），连接OM延长交圆于B，在直角三角形OBQ中

，即ρ=2cosθ+2sinθ；

（Ⅱ）把l与M的极坐标方程化为直角坐标方程，l：x+y=4， M：x2+y2﹣2x﹣2y=0， ∵圆心M（1，1）到l的距离d=

=r，∴l与M相切．

，即ρ

【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了点到直线距离公式的应用，是基础题．

17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程

（φ为参数），直线l

的参数方程（t为参数）．

（I）求C与l的方程；

（Ⅱ）求过C的右焦点，且平行l的直线方程． 【考点】椭圆的参数方程．

【专题】计算题；方程思想；参数法；坐标系和参数方程． 【分析】（I）消去参数φ可得椭圆方程为

；

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