∴圆M的半径为r?231?(3)2?3，故圆M：(x?2)2?y2?3.
显然当直线l1的斜率不存在时不符合题意，
设l1的方程为y?3?k(x?1)，即kx?y?3?k?0， 设l2的方程为y?3??1(x?1)，即x?ky?3k?1?0， k∴点F1到直线l1的距离为d1?|3k?3|1?k2，点F2到直线l2的距离为d2?2|3k?1|1?k2，
?3k?3?63k?6k2∴直线l1被圆M截得的弦长s?23??， 2?1?k2???21?k???3k?1?23k?2k2直线l2被圆N截得的弦长t?21??， 2?1?k2???21?k??s63k?6k26(3k?k2)s??3∴?， 故为定值3． 22tt23k?2k2(3k?k)15. 解：（1）设A、B、M的坐标分别为(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，则
22
x20＋y0＝(m＋1)， ① →→
由AM＝mMB，得(x－x0，y)＝m(－x，y0－y)，
2????x－x0＝－mx，
∴?∴?m＋1?y＝m(y0－y)．?y＝y．?0
x0＝(m＋1)x，
m
?
②
y2
化简即得点M的轨迹Γ的方程为x＋m2＝1（m＞0）． 当0＜m＜1时，轨迹Γ是焦点在x轴上的椭圆；
当m＝1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆； 当m＞1时，轨迹Γ是焦点在y轴上的椭圆．
1
（2）依题意，设直线CD的方程为x＝ty＋2，
2
将②代入①，得
m＋1
(m＋1)2x2＋(m)2y2＝(m＋1)2，
?由?y
x＋?m＝1．
22
21x＝ty＋2，
3
消去x并化简整理，得(m2t2＋1)y2＋m2ty－4m2＝0，
△＝m4t2＋3m2(m2t2＋1)＞0， 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
m2t3m2
y1＋y2＝－22，yy＝－． ③
mt＋1124(m2t2＋1)
假设在x轴上存在定点P(a，0)，使PQ平分∠CPD， 则直线PC、PD的倾斜角互补，
y1y2∴kPC＋kPD＝0，即＋＝0，
x1－ax2－a11y1y2∵x1＝ty1＋2，x2＝ty2＋2，∴＋＝0， 11
ty1＋2－aty2＋2－a
化简，得4ty1y2＋(1－2a)( y1＋y2)＝0． ④
m2t(1－2a)3m2t
将③代入④，得－22－22＝0，即－2m2t(2－a)＝0，
mt＋1mt＋1
∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式对?t∈R都成立，∴a＝2． 故在x轴上存在定点P(2，0)，使PQ平分∠CPD．
16.解：（1）由题意，a1?a2?a3?...?an?n(2n?1),a1?a2?a3?...?an?1?(n?1)(2n?1)，两
式相减得an?4n?1,(n?2)，而a1?3，?an?4n?1,(n?N?)
（2）cn?an4n?133??2?,cn?1?2?， 2n?12n?12n?12n?333cn?1?cn???0,?cn?1?cn
2n?12n?3(3)由（2）知c1?1是数列?cn?的最小项.
当x??时，对于一切非零自然数n，都有f(x)?0, 即?x?4x?2an?cn,??x2?4x?c1?1，即x2?4x?1?0， 2n?1解得x?2?3或x?2?3，?取??2?3. 17. 解：（1）
12-an-11112 ==-1，则-1=(-1) 2n-1 则an=n1+2ana1anan-1an-1111111a>a>a>?a1 ==a，因此，nn-1n-2n-12222n-12+2n2(1+2n-1)2（2） 由于an>a1+a2+?+an?1(131n1112+?+n-1)=?2231-121-21(1-n) 32又an=11< nn1+2212111152所以从第二项开始放缩： a1+a2+?+an<+2+?+n<+=
32231-162
因此
21(1-n)?Sn325 6?1??x(x?0)18.解:（1）F(x)??x，
?ex?x(x≤0)?当x?0时，F(x)?1?x≥2，即x?1时，F(x)最小值为2． x当x≤0时，F(x)?ex?x，在???,0?上单调递增，所以F(x)≤F(0)?1． 所以k?1时，F(x)的值域为(??,1]?[2,??]．
1?k?(x?0)?2（2）依题意得F'(x)?? x?ex?k(x≤0)?''①若k?0，当x?0时，F(x)?0，F(x)递减，当x≤0时，F(x)?0，F(x)递增．
'②若k?0，当x?0时，令F(x)?0，解得x?1， k 当0?x?11''时，F(x)?0，F(x)递减，当x?时，F(x)?0，F(x)递增． kk' 当x?0时，F(x)?0，F(x)递增．
'③若?1?k?0，当x?0时，F(x)?0，F(x)递减．
'x 当x?0时，解F(x)?e?k?0得x?ln(?k)， 当ln(?k)?x?0时，F(x)?0，F(x)递增， 当x?ln(?k)时，F(x)?0，F(x)递减．
'④k≤?1，对任意x?0，F(x)?0，F(x)在???,0?,?0,???上递减．
''综上所述，当k?0时，F(x)在(??,0]或(11,??)上单调递增，在(0,)上单调递减； kk当k?0时，F(x)在(??,0]上单调递增，在(0,??)上单调递减；
当?1?k?0时，F(x)在(ln(?k),0]上单调递增，在(??,ln(?k))，(0,??)上 单调递减；
当k≤?1时，F(x)在???,0?,?0,???上单调递减．
?f'(1)?a?b?1?b?a?1b19. 解：（1）f(x)?a?2,则有?. ,解得?x?c?1?2a?f(1)?a?b?c?0' （2）由（1）得f(x)?ax?a?1?1?2a. xa?1?1?2a?lnx,x?[1,??).g(1)?0, 令g(x)?f(x)?lnx?ax?x1?aa(x?1)(x?)a?11'ag(x)?a?2??. 2xxx11?a1?a'① 当0?a?时，，g(x)?0,g(x)是减函数， ?1.若1?x?a2a∴g(x) ?g(1)?0，即f(x)?lnx,故f(x)?lnx在[1,??)不恒成立.
11?a时，?1.若x?1，g'(x)?0,g(x)是增函数，∴g(x)?g(1)?0， 2a1 即f(x)?lnx,故x?1时f(x)?lnx.综上所述，a的取值范围是[,??).
21111（3）由（2）知，当a?时，有f(x)?lnx(x?1).令a?，则f(x)?(x? )?lnx.即当
2x22k?11k?1k11k?1?(?) (x?)?lnx.令x?，则lnx?1时，总有
2xk2kk?1k111111?(?),ln(k?1)?lnk?(?),k?1,2,???,n.将上述n个不等式累加得2kk?12kk?1②当a?ln(n?1)?11111111n?(??????)?,整理得1???...??ln(n?1)?223n2(n?1)23n2(n?1)
2220.解:(1)因为点Qn的坐标为(an,an),Qn?1的坐标为(an+1,an?1), 2所以点Pn?1的坐标为(an+1,4an?1),则4an?1?an,故an?1与an的关系为an?1?2/（1） 设切点为(t,t),则y?2x得2t?4,所以t?2.
12an. 4解不等式??a2?2,得2?a1?22.
?a1?2112112214a2?(a1)?a1.?2?a1?22,??a3?1.
4444641a3的取值范围是(,1).
41212111(3) 由an?1?an得lgan?1?lg(an),即lgan?1?2lgan?lg,故lgan?1?lg?2(lgan?lg)
44444a3?
113?lg3?lg?lg?0, 4441所以数列{lgan?lg}是以
4lga1?lglgan?lg2
为公比,首项为lg3的等比数列, 43n?1133n?1a3n?1?2n?1lg?lg()2,即lgn?lg()2,解得an?4()2,
44444432n?1数列?an?的通项公式为an?4().
4
21. 略解：（1）
f?x1??f?x2?2??11?a122x?x???????lnx1?lnx2? 12?2?x1x2?2 ?x1?x2122x?x??alnx1x2. ?12?2x1x22x?x4?x?x??x?x?f?12???12???aln12，
2?2??2?x1?x21212?x1?x2?22而?x1?x2?x?x?2xx???1212???, 24?2?22又?x1?x2??x1?x2?2x1x2?4x1x2,得
22x1?x24, ?x1x2x1?x2又x1x2?x1?x2x?x2x?x2,得lnx1x2?ln1,由于a?0,故alnx1x2?aln1. 222212x?x24x?x?x?x?2所以?x1?x2??1?alnx1x2??12???aln12.
2x1x22?2?x1?x2所以
f?x1??f?x2??x?x??f?12?.
2?2?（2）f'?x??2x?2?x1?x2?2aa''fx?fx?，故 ?x?x2??????1212222xxx1x2x1x22?x1?x2?2x12x2'' f?x1??f?x2??x1?x2?2??a?1， x1x22?x1?x2?a下面证明：2???1成立. 2x12x2x1x2
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